Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга
Тензор второго ранга S, будучи умножен скалярно на вектор я, преобразует его в вектор v = S • и. Те векторы, которые при этом не изменяют направления, а только удлиняются или укорачиваются, называются собственными векторами тензора S (рис. 19.1). Они, следовательно, удовлетво- Л2\ ряют уравнению Ml Рис. 19.1. Действие симметричного тензора S = Vs e^j + 6Л егег на векторы «1, •, «12*. V- = S'U^ ЫЬ «4, «7 Ий|(- собственные векторы тензора S. = Suh A9.1) где S — число, показывающее, во сколько раз удлиняется вектор и под действием тензора S—называется собственным значением тензора S, соответствующим данному собственному вектору. Если некоторый вектор и удовлетворяет этому уравнению, то ему удовлетворяет и любой вектор, коллинеарный первому. Поэтому можно говорить о собственных направлениях тензора; все векторы, параллельные собственному направлению, являются собственными векторами, направление же естественно задавать единичным вектором. Поэтому наложим на вектор и дополнительное условие A9.2) § 19] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА 145 Записав уравнения A9.1) в виде видим, что это три однородных линейных уравнения относительно компонент вектора и. Им удовлетворяет, конечно, тривиальное решение и = 0, однако оно не определяет никакого направления. Другие, не тривиальные решения система однородных линейных уравнений может иметь, как известно, лишь в том случае, если ее определитель равен нулю: 5ц — S S12 Sis s2I Sn-s Sa3 det(S-SI)= S 32 = 0. A9.4) Так как тензор S задан, условие A9.4) представляет собой уравнение, которому должно удовлетворять собственное значение S. Уравнение A9.4) называется характеристическим уравнением тензора. Поскольку компоненты тензора вещественны, это уравнение третьей степени имеет либо один вещественный и два комплексно- сопряженных мнимых корня, либо три вещественных корня, а если тензор симметричен, реализуется только вторая возможность. Действительно, один вещественный корень SC) оно во всяком случае имеет. Допустим, мы его нашли. Тогда из системы линейных уравнений E^-S(8N^48) = 0 мы сможем найти и соответствующий собственному значению SC) единичный вектор иC). Введем декартову систему координат Хг'Х%*Х9', ортом ег* которой служит #C). Легко проверить, что в этой системе тензор S имеет вид |с с ЛИ slf%, st,t, о A9.5) 0 0 5(8) I (при этом существенно используется его симметричность). Поэтому уравнение A9.4) можно записать так: о о s(S)—s Раскрыв этот определитель, найдем два других собственных значения S(i,2) -1 [(Sim- + Sw) ± V(Svi- - S2-2>)* + BS,,2,J]. A9.6) Поскольку подкоренное выражение как сумма квадратов положительно, оба они также вещественны, что и требовалось доказать. 146 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ II Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Действительно, скалярно умножив уравнения для собственных векторов на #B) и #A) соответственно и вычтя одно из другого, получим в<1). s •»(« - и**) • S • и**) = (SA) - SB)) и<« • иB). Левая часть этого равенства вследствие симметричности тензора S равна нулю, так что из различия собственных значений (SA) — — SB) 7^ 0) непосредственно следует ортогональность векторов и,™ и и<2>. Если все собственные значения тензора S различны, его собственные векторы u^k) взаимно ортогональны и их можно использовать в качестве ортонормированного базиса. В этом базисе тензор принимает особенно простой вид S = S{1)u^u^ + S{2)u^u^+S{3)u^u^f A9.7) а его матрица — диагональную форму 15A, 0 0 II о 5B) о . A9.8) 0 0 5C, I) Когда два собственных значения совпадают (скажем, SA) = = 5B) 7^= 5(з)), им соответствует целая плоскость собственных векторов, перпендикулярная к собственному вектору #C). Действительно, из A9.6) вытекает, что в любой декартовой системе координат, ортом es которой служит #C), тензор S приобретает вид || S«i, 0 0 0 5,,, 0 0 0 5 C) A9.9) а это и показывает, что любой вектор, перпендикулярный к и^3\ является собственным вектором тензора S, соответствующим собственному значению SA). Такие тензоры удобно записать в форме A9.10) где k — изолированный (единичный) собственный вектор, S\\ — соответствующее ему собственное значение, a SL—собственное значение, соответствующее плоскости собственных векторов. Наконец, при совпадении всех трех собственных значений EA) = SB) = SC) = S) тензор равен S = SI, S£/ = S6/y; A9.11) для этого тензора любой вектор является собственным.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга» з дисципліни «Основи кристалофізики»
