В общем случае потенциальная энергия моноатомной цепочки (см. рис.19) зависит от смещений Un каждого атома и при малых колебаниях около положения равновесия может быть представлена следующим рядом:
.
Упрощая задачу, рассматривают гармоническое приближение и взаимодействие только ближайших соседей. Поэтому сила fn, действующая на атом n равна: . Если принять во внимание взаимодействие только с ближайшими атомами, это выражение ещё более упрощается. Для цепочки, показанной на рис.19, сила, действующая на атом с номером n, складывается из силы, действующей со стороны предыдущего атома с номером n–1 и со стороны последующего атома n+1. Если упругая постоянная между атомами определяется величиной (, то в этом приближении можно написать:
Рис.19. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость ((k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости равен скорости звука в цепочке, поскольку при k( 0 ( ((4( /m(ka/2 и Vзв=( /k=a( ( /m, что полностью совпадает со значением скорости звука при феноменологическом описании механических колебаний в непрерывной среде: Vзв=( С11 /(, где С11={( (Un–Un–1)}/{(Un–Un–1)/a}, а (=m/a, так что Vзв=a(( /m; в) физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому n атом n+m, имеющий то же смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения Un=Un+m, то ясен физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2( ( λ, где λ=am – длина волны возбуждения.
Система уравнений, описывающая движение N частиц цепочки, состоит из N дифференциальных уравнений вида
Постановка решения в виде функции Блоха
сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому уравнению, характеризующему связь между частотой ( и волновым числом k=(2(/() для возможных собственных возбуждений системы:
Дисперсионная зависимость ((k) периодична, таким образом достаточно рассмотреть область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –((/a)<k<+((/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по волновому вектору k на целочисленную величину (2(/a), физически характеризуют одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое же отклонение Un+m, как и заданная Un для колебания с волновым вектором k расположена на расстоянии ma=(:
Волны с частотами (>(max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+i( :
Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/2)=0 и k=(/2, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом ( волны (рис.20 а):
.
Рис.20. Колебания моноатомной цепочки: а) мода колебания с волновым вектором k(0; б) мода колебания на границе зоны Бриллюэна с k=( /a; в) вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами (2((2max=4(/m(sin2ka/2. Если частота внешнего воздействия (((max , это означает, что волновой вектор k является комплексным числом (=k+i(, так что sin((a/2)=sin[(k+i()a/2]=sin(ka/2)(ch((a/2)+i(cos(ka/2)(sh((a/2); поскольку sin((a/2), определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=(/2. Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: un=A(exp[i(((t+an/(a)](exp(–(an). Это показано на рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по порядку увеличения частоты колебаний. Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис.20. Для малых волновых векторов k(0 (((() движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka<<1):
где V=a((/m)1/2– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m. Действительно, Vзвука=(C11/()1/2, где C11 – упругая постоянная
.
Таким образом, при малых k (=kVзвука. Фазовая скорость Vф=(/k и групповая скорость Vгр=d(/dk в этом случае равны. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=(/a; (=2a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с частотой (=(max=(4(/M)1/2. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая скорость равна нулю
При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана), когда цепочка представляется замкнутой:
Таким образом, в цепочке из N атомов волновой вектор k может принимать N разных значений, которым соответствуют различные решения Un((, k) и различный тип движения частиц (моды колебаний). Поскольку число частиц N в реальных объектах чрезвычайно велико, можно считать, что волновой вектор k и соответствующие значения частот от 0 до (max квазинепрерывны. Важным вопросом является вопрос о числе dZ различных частот (колебаний, мод), приходящихся на единичный интервал частот d(. Эта величина g(() носит название функции плотности частот (функции плотности состояний).
Поэтому плотность частот для одноатомной одномерной цепочки выглядит следующим образом:
Для линейной цепочки при учете взаимодействия только ближайших соседей функция плотности частот g(() имеет особенность при (((max.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Линейная моноатомная цепочка» з дисципліни «Фізика кристалів»
