Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины х с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью. Пусть тело, к которому относится величина ж, находится в некотором определенном (n-м) стационарном состоянии. Сред- нее значение A22.8) вычисляется как соответствующий диаго- нальный матричный элемент оператора ~\Х^Хи1 \ % и'% и) пп = ~ / jl\%uj)nm\%ujf )тп ~г [%иг )пт \%uj)mn\i т A24.1) 438 ФЛУКТУАЦИИ где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора хш два члена в ква- дратных скобках не совпадают друг с другом). Зависимость оператора x(t) от времени означает, что вы- числение его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем (хи)пт = [ хпте^пт+^сИ2тгхпт6(шпт + ш), A24.2) J — СЮ где хпт — обычный, не зависящий от времени матричный эле- мент оператора ж, выраженного через координаты частиц тела, а оопт = (Еп — Ет)/Н—частота перехода между состояниями п и т. Таким образом, \ = 2тг2 V" \xnm\2[5(uj т (здесь учтено, что хпт = х*тп ввиду вещественности ж). Про- изведения 6-функций в квадратных скобках можно, очевидно, переписать в виде 3(шПт + шN(ш + оо1) + 8{иотп -\- соM(и -\- оо1). Сравнивая после этого сA22.8), получим следующую формулу: (ж2)^ = тг V" \хпт\2[5(и + и>пт) + 8{ш + штп)]. A24.3) В связи с формой записи этого выражения сделаем следую- щее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что фактически образуют непрерывный спектр. Формулу A24.3) можно написать без E-функций, если усреднить ее по малым (но содержащим все же много уровней) интервалам частот. Ес- ли Т(Е) — число уровней энергии, меньших Е, то A24.4) где Ет = Еп + Пи, Е'т = Еп- Пш. Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой ио) возмущение, описывающееся оператором V = -fx = -\(he-^1 + f*velut)x. A24.5) § 124 ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 439 Под влиянием возмущения система совершает переходы, при- чем вероятность перехода п —>> т (в единицу времени) дается формулой |2 Хтп\ [5(ы+ итп) + 5(и+ ипт)] A24.6) ail (см. Ill, §42). Два члена в этой формуле возникают соответ- ственно из двух членов в A24.5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант Нио. Сумма Q = т дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу време- ни); источником этой энергии является внешнее возмущение, а поглощаясь телом, она диссипируется в нем. Подставив A24.6), получим Q = ^1/о|2 ^2 \хпт\2[8(ы + иотп) + 5(ш + иопт)]ио \\[ ]отп т или, учитывая, что E-функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе, Q = ^l/ol2 ^2 \хпт\2[8(и + ипт) - 5(и + и)тп)]. A24.7) т Сравнивая A24.7) с A23.11), находим а" (со) = ^ шпт) - 8{ш + и>тп)]. A24.? Вычисленные таким образом величины (х2)ш и а" связаны между собой простым соотношением. Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через тем- пературу тела. Для этого производим усреднение с помощью распределения Гиббса (ср. примеч. на с. 410). Для (х2)и имеем п,т где для краткости обозначено F-En Рп = ехр т , Еп —уровни энергии тела, F — его свободная энергия. Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам m и п, то 440 ФЛУКТУАЦИИ можно менять их обозначение. Раскрыв квадратные скобки и заменив во втором члене тип друг на друга, получим = 7Г т,п т,п или, ввиду наличия в суммируемом выражении 5-функции, = 7гA + е~ ^' )\ рп\хпт\ S(CO -\-С0пт). Совершенно аналогичным путем получим а" = ^A - е~^т) J2 Pn\xnm\2S(u + un т,п Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем /™2\ *- | = 2Па"{1- + ^^л}- A24.9) Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом оо (x2) = lfa"{u)ct^du. A24.10) О Эти важные формулы составляют содержание флуктуацион- но-диссипационной теоремы (коротко ФДТ), сформулированной Калленом и Вельтоном (Н.В. С alien, T. A. Welton, 1951). Они связывают флуктуации физических величин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание на то, что множитель в фигурных скобках в A24.9) представляет собой среднюю энергию (в единицах tvuj) осцил- лятора при температуре Т; член 1/2 отвечает нулевым колеба- ниям. Подобно тому, как это было сделано в конце § 118, получен- ные результаты можно представить в другом виде, рассматри- вая формальным образом самопроизвольные флуктуации вели- чины х как результат воздействия некоторых фиктивных слу- чайных сил. При этом удобно записывать формулы, вводя фу- рье-компоненты хш и /ш так, как если бы х было классической величиной. Связь между ними записывается в виде xw = a(w)/w, A24.11) § 124 ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 441 подобном A23.3), после чего для средних квадратичных флук- туации имеем или, переходя к спектральным плотностям флуктуации, согласно определению A22.4): Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из A24.9) 9 hot"(uj) ,, Лии /., ~ л ., ~ч ^th- A24Л2) Такая трактовка может представить определенные преимуще- ства в конкретных применениях теории. Вывод ФДТ основан на рассмотрении внешнего воздействия A24.5) как малого возмущения; с малостью воздействия связа- на также и линейность отклика системы — линейность связи между ~х и силой /. Подчеркнем, однако, что это обстоятель- ство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации са- мой величины х. Малость воздействия всегда может быть обес- печена сколь угодной малостью вспомогательной величины /, не фигурирующей в окончательной формулировке ФДТ. Таким образом, для рассматриваемой категории физических величин х свойства их флуктуации (в термодинамически равновесной си- стеме) полностью определяются свойствами отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие. При температурах Т > Ни) имеем cth(Hu)/2T) « 2Т/Нои, и формула A24.9) принимает вид (х% = ™а"(ш). A24.13) Из нее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны. Если неравенство Т ^> Нио справедливо при всех существен- ных частотах (частоты, для которых ап(ш) существенно отлич- но от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интегральной формуле A24.10): оо (х ) = — / ——dui. 7Г J U 0 442 ФЛУКТУАЦИИ Но согласно A23.17) этот интеграл выражается через статиче- ское значение а'@) = а@), так что1) (х2) =Та@). A24.14) Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуации (§ 118). Прежде всего заметим, что если величина х такова, что ее флуктуации малы в подразумевавшемся в §110 смысле (т.е. допустимо разложение энтропии A10.3)), то средний квадрат (х2) = 1//3. Сравнение с A24.14) показывает, что для такой ВМ™ „@) = ±. A24.15) Пусть далее х относится к категории величин, флуктуации которых квазистационарны. Предположим, что тело подверга- ется воздействию статической силы /. Это приводит к смеще- нию состояния равновесия, в котором х уже отлично от нуля и равно х = а@)/ = f //3T. Макроскопическое уравнение, описы- вающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь вид (^) A24.16) отличающийся от уравнения х = — Хх A18.5) тем, что ско- рость х обращается в нуль не при х = 0, а при х = f//3T. Уравнение A24.16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени воз- мущения, если только период изменения силы f(t) велик по срав- нению со временем установления неполного равновесия (отве- чающего каждому заданному значению х). Если f(t)—периоди- ческая (с частотой ио) функция времени, то с той же частотой ) Это выражение можно получить также и прямо из распределения Гиб- бса в классической статистике. Пусть х = x(q,p)— некоторая классическая величина. Вводя в энергию системы член—xf (с постоянным /), для сред- него значения х будем иметь х = / х(р, q) exp ^^ v JJ dq dp. J J- По определению а@) = dx/df при / —»> 0; дифференцируя написанное выра- жение, находим /г\\ 1/2 F — Е/ 1 , 2\ а@) = — / х ехр dqdp = — (х ) (свободная энергия F тоже зависит от /, но член с производной dF/df выпадает после того, как будет положено / = 0, т. е. ж = 0). § 125 ФДТ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 443 будет меняться и макроскопическое значение x(t). Подставив в уравнение A24.16) /(?) и x(t) в виде A23.8), A23.9) и отделив в нем члены, содержащие ехр(—iuot) и expicjt, получим -iu)a(u))fo = -\a(u))f0 + —/о, откуда \ а<ш) = - . A24.17) Согласно ФДТ A24.9) находим теперь / 2\ 2А Ни 1 Ни (лс\а ю\ \х )ш = ^тго гт— ctn —• A24.18) v у /3(\2 +и2JТ 2Т v y Этот результат обобщает формулу A22.9), относящуюся к флуктуациям классической величины. Выражение A24.18) от- личается от A22.9) множителем Ни .. Ни /1 ол 1 п\ — cth—, A24.19) 2Т 2Т обращающимся в единицу в классическом пределе, когда Уравнение A24.16) можно рассматривать и в другом аспек- те: не как макроскопическое уравнение движения далекой от равновесия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуации величины x(t) в равновесной замкнутой системе, происходящих под влиянием случайной си- лы /. В такой интерпретации оно отвечает уравнению A18.9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь мно- жителем: у = А//Т/3. Для спектральной плотности (у2)и найдем, подставив A24.17) в A24.12): / 2\ 2 А Ни ,, Ни (лъл огл lyz)UJ = cth—, A24.20) \С/ / w> n л/т! ОТ7 что отличается от прежнего выражения A22.10) тем же множи- телем A24.19).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуационно-диссипационная теорема» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
