Рассмотрим теперь поля, для которых значение (ЗН, по- прежнему малое по сравнению с /i, уже не должно быть малым по сравнению с Т: Г < рН « 11. F0.1) В этих условиях эффекты квантования орбитального движения и спиновые эффекты уже не могут быть отделены друг от дру- га и должны учитываться одновременно; другими словами, при вычислении О надо исходить из выражения E9.14) Мы увидим, что намагниченность электронного газа при /ЗН > Т содержит часть, которая, как функция Н, осцилли- рует с большой амплитудой; именно эта осциллирующая часть намагниченности и будет интересовать нас здесь. Для выделения из термодинамических величин их осцилли- рующих частей целесообразно преобразовать сумму E9.14) с 1)Она получается из формулы Эйлера-Маклорена, если положить в ней а = 0. 208 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ помощью формулы Пуассонах) : ОО р ОО р -F(d) 4- V^ F(n) — / F®r1r 4- 2"RpV^ / F®p27rikxr1r F0 2) .?. I V7 I \^ 7 J- \ I b ) I J- \ Ju ) KAjJu \^ L4\. LC / I J- \ Ju IG L6«i^ • I UW. ^ i 2 v / ^^ v / i v / ^^ i v j \ j П-1 Q k=lQ после чего она принимает вид оо " fc, F0.3) /с=1 где 4 = - -оо 0 F0.4) a Oo(/i)— термодинамический потенциал в отсутствие поля. Произведем в интегралах 1^ замену переменной х на е = 2 = —^- + 2х/ЗН. Для интересующей нас осциллирующей части ин- 2т тегралов (которую обозначим через 1^) получим = -J J ln(l + exp —) exp — exp(-^-^jds dpz. -OO 0 В интеграле по pz существенны значения pz/2m ~ /3H. Осцил- лирующая же часть интеграла возникает от области значений е вблизи \i (см. ниже); поэтому нижний предел интегрирования по е заменен нулем (вместо p2z/2m). 2-ягкх. 1) Эта формула следует из равенства оо ES(x — п) = п = — оо fc = — оо сумма ^-функций в левой части этого равенства представляет собой пери- одическую функцию переменной х с периодом 1, а сумма в правой части есть разложение этой функции в ряд Фурье. Умножив равенство на про- извольную функцию F(x) и проинтегрировав его затем по ж от 0 до оо, оо получим F0.2) (при этом интеграл J F(x)S(x)dx—член суммы с п = 0, о распространенный лишь по области с одной из сторон от точки х = 0, да- ет F@)/2). § 60 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. СИЛЬНЫЕ ПОЛЯ 209 Интегрирование по pz отделяется и осуществляется фор- мулой х) — оо после чего остается ОО В этом интеграле производим дважды интегрирование по ча- стям, а в остающемся интеграле производим замену перемен- ной (е — jj)/T = ?. Опустив неосциллирующую часть, получим ОС гтг\ f Нижний предел интеграла по ?, равный —\ijT^ в силу условия \i ^> Т заменен на — оо. При /3i7 > Т определяющую роль в интеграле играет область ? ~ 1, т. е. окрестность значений е вокруг \i{e — \i ~ T). Интеграл вычисляется по формуле2) оо Окончательно для осциллирующей части О находим / пи тг ОО COS ——к /с=1 1) Она получается путем поворота пути интегрирования в плоскости ком- плексной переменной р: полагаем р = е~гп^4и и интегрируем по веществен- ным значениям и от — оо до оо. 2) Подстановкой (е^ + 1) = и интеграл приводится к В-интегралу Эйлера: 1 1 - u)iau-iadu = ГA + ш)ГA - ш)/ГB) о и по формуле +Z)= 7TZ/ Sin 7TZ получается указанный в тексте результат. 210 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ При вычислении магнитного момента как производной от выражения F0.5), дифференцированию должны подвергаться лишь наиболее быстро меняющиеся множители— косинусы в числителях членов суммы. Это дает —— к Vksh(ir2kT/f3H) V J {Л. Д. Ландау, 1939). Эта функция осциллирует с большой ча- стотой1). Ее «период» по переменной 1/Н есть постоянная ве- личина R AJ- = & F0.7) не зависящая от температуры. При этом АН/Н ~ CH//J, <С 1. При (ЗН ~ Т амплитуда колебаний магнитного момента 9JT ~ VцН112(тC)^12Н~3. «Монотонная» же часть намагничен- ности (обозначим ее 971), определяющаяся по вычисленной в пре- дыдущем параграфе восприимчивости: 9ЭТ ~ Vjj}'2Hm?'2/32Н~3. Поэтому 93Т/9Л ~ (n/f3H)ll2 — амплитуда осциллирующей ча- сти велика по сравнению с монотонной. Напротив, при f3H ^C T эта амплитуда экспоненциально убывает (как ex.-p(—n2T/f3H)) и становится пренебрежимо малой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнетизм электронного газа. Сильные поля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
