Если бы движение молекул газа (и атомов в них) подчиня- лось классической механике, мы могли бы ввести вместо рас- пределения по квантовым состояниям распределение молекул § 38 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 141 по фазовому пространству, т. е. по импульсам и координатам. Пусть dN — среднее число молекул, «заключенных» в элементе объема фазового пространства молекулы dp dq = dpi ... dprdqi ... dqr (г —число степеней свободы молекулы). Напишем его в виде = n(p,q)dT, dr = -^ C8.1) и будем называть n(p,q) плотностью в фазовом пространстве (хотя dr отличается множителем BтгН)~т от элемента объема фазового пространства). Мы получим теперь вместо C7.5) ^H, C8.2) где s(p, q) —энергия молекулы как функция координат и импуль- сов ее атомов. Обычно, однако, квазиклассичным оказывается не все дви- жение молекулы, а лишь движение, соответствующее части ее степеней свободы. В частности, в газе, не находящемся во внеш- нем поле, всегда квазиклассично поступательное движение мо- лекул. При этом кинетическая энергия поступательного движе- ния входит в энергию е^ молекулы как независимое слагаемое, а остальная часть энергии вовсе не содержит координат ж, у, z и импульсов рХ1 ру, pz центра инерции молекулы. Это обсто- ятельство позволяет выделить из общей формулы распределе- ния Больцмана множитель, определяющий распределение моле- кул газа по указанным переменным. Распределение молекул по занимаемому газом объему будет, очевидно, просто однородным, а для числа молекул, приходящихся на единицу объема и имею- щих импульсы (поступательного движения) в заданных интер- валах dpx, dpyi dpZi получим формулу распределения Максвелла C8.4) (m — масса молекулы), нормированную на N/V частиц в единице объема. Рассмотрим далее газ, находящийся во внешнем поле, в ко- тором потенциальная энергия молекулы есть функция только от координат ее центра инерции: и — u(x,y,z) (таково, напри- мер, гравитационное поле). Если, как это практически всегда 142 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV имеет место, поступательное движение в этом поле квазиклас- сично, то (x,y,z) входит в энергию молекулы в качестве незави- симого слагаемого. Максвелловское распределение по скоростям молекул остается, разумеется, неизменным, а распределение по координатам центра инерции определится формулой dNr = noe-<x>y>zVTdV. C8.5) Эта формула дает число молекул в элементе пространственного объема dV = dx dy dz\ величина же n® = nQe-u^y^T C8.6) представляет собой плотность числа частиц. Постоянная щ есть плотность в точках, где и = 0. Формула C8.6) называется фор- мулой Больцмана. В частности, в однородном поле тяжести, направленном вдоль оси z, и = mgz, и распределение плотности газа опре- деляется так называемой барометрической формулой n(z) = noe-mgz/T, C8.7) где по —плотность на уровне z = 0. На больших расстояниях от Земли ее гравитационное поле должно описываться точным ньютоновским выражением, при- чем потенциальная энергия и обращается на бесконечности в нуль. Согласно формуле C8.6) плотность газа должна была бы иметь при этом на бесконечности отличное от нуля конечное зна- чение. Однако конечное количество газа не может быть распре- делено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плот- ностью. Это значит, что в гравитационном поле газ (атмосфе- ра) не может находиться в равновесии и должен непрерывно рассеиваться в пространство.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Больцмана в классической статистике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
