Предмет статистической физики, или, как говорят для краткости, просто статистики, составляет изучение особого типа закономерностей, которым подчиняются поведение и свой- ства тел макроскопических, т. е. тел, состоящих из колоссаль- ного количества отдельных частиц — атомов и молекул. Общий характер этих закономерностей в значительной степени не зави- сит от того, какой механикой описывается движение отдельных частиц тела — классической или квантовой. Их обоснование, од- нако, требует в этих двух случаях различных рассуждений; для удобства изложения мы будем сначала проводить все рассужде- ния, предполагая, что справедлива классическая механика. Составляя уравнения движения механической системы в чис- ле, равном числу степеней свободы, и интегрируя их, мы прин- ципиально можем получить исчерпывающие сведения о движе- нии системы. Однако если нам приходится иметь дело с систе- мой, хотя и подчиняющейся законам классической механики, но обладающей колоссальным числом степеней свободы, то при практическом применении методов механики мы сталкиваемся с необходимостью составить и решить такое же число диффе- ренциальных уравнений, что представляется, вообще говоря, практически неосуществимым. Следует подчеркнуть, что если бы даже и можно было проинтегрировать в общем виде эти уравнения, то совершенно невозможно было бы подставить в общее решение начальные условия для скоростей и координат всех частиц. На первый взгляд отсюда можно было бы заключить, что с увеличением числа частиц должны невообразимо возрастать сложность и запутанность свойств механической системы и что в поведении макроскопического тела мы не сможем найти и следов какой-либо закономерности. Однако это не так, и мы увидим в дальнейшем, что при весьма большом числе частиц появляются новые своеобразные закономерности. Эти— так называемые статистические— закономерности, обусловленные именно наличием большого числа составляю- щих тело частиц, ни в какой степени не могут быть сведены 14 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I к чисто механическим закономерностям. Их специфичность проявляется в том, что они теряют всякое содержание при пе- реходе к механическим системам с небольшим числом степеней свободы. Таким образом, хотя движение систем с огромным чис- лом степеней свободы подчиняется тем же законам механики, что и движение систем из небольшого числа частиц, наличие большого числа степеней свободы приводит к качественно но- вым закономерностям. Значение статистической физики в ряду других разделов те- оретической физики определяется тем, что в природе мы посто- янно встречаемся с макроскопическими телами, поведение ко- торых по указанным причинам не может быть исчерпывающе описано чисто механическими методами и которые подчиняют- ся статистическим закономерностям. Переходя к формулированию основной задачи классической статистики, мы должны, прежде всего, ввести понятие фазового пространства, которым нам придется в дальнейшем постоянно пользоваться. Пусть рассматриваемая макроскопическая механическая си- стема имеет s степеней свободы. Другими словами, положение точек этой системы в пространстве характеризуется s коорди- натами, которые мы будем обозначать буквами q^ где индекс г пробегает значения 1,2, ...,s. Тогда состояние этой системы в данный момент будет определяться значениями в этот же мо- мент s координат qi и s соответствующих им скоростей щ. В статистике принято пользоваться для характеристики системы ее координатами и импульсами ^, а не скоростями, так как это дает ряд весьма существенных преимуществ. Различные состояния системы можно математически представить точка- ми в так называемом фазовом пространстве (являющемся, ко- нечно, чисто математическим понятием); на координатных осях этого пространства откладываются значения координат и им- пульсов данной системы. При этом каждая система имеет свое собственное фазовое пространство, число измерений которого равно удвоенному числу ее степеней свободы. Всякая точка фа- зового пространства, соответствуя определенным значениям ко- ординат системы qi и ее импульсов pi, изображает собой опреде- ленное состояние этой системы. С течением времени состояние системы изменяется, и, соответственно, изображающая состоя- ние системы точка фазового пространства (мы будем ниже го- ворить просто «фазовая точка системы») будет описывать в нем некоторую линию, называемую фазовой траекторией. Рассмотрим теперь какое-либо макроскопическое тело или систему тел. Предположим, что система замкнута, т. е. не взаи- модействует ни с какими другими телами. Выделим мысленно § 1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 15 из этой системы некоторую часть, весьма малую по сравнению со всей системой, но в то же время макроскопическую; ясно, что при достаточно большом числе частиц во всей системе число частиц в ее малой части может еще быть очень большим. Та- кие относительно малые, но макроскопические части мы будем называть подсистемами. Подсистема есть опять механическая система, но уже отнюдь не замкнутая, а, напротив, испыты- вающая всевозможные воздействия со стороны остальных ча- стей системы. Благодаря огромному числу степеней свободы этих остальных частей, эти взаимодействия будут иметь весь- ма сложный и запутанный характер. Поэтому и состояние рас- сматриваемой подсистемы будет меняться со временем весьма сложным и запутанным образом. Точное решение задачи о поведении подсистемы возможно только путем решения задачи механики для всей замкнутой си- стемы, т. е. путем составления и решения всех дифференциаль- ных уравнений движения при данных начальных условиях, что, как уже отмечалось, представляет собой невыполнимую задачу. Но, к счастью, именно тот чрезвычайно сложный ход изменения состояния подсистем, который делает неприменимыми методы механики, дает возможность подойти к решению задачи с дру- гой стороны. Основой для этого подхода является то обстоятельство, что, в силу чрезвычайной сложности и запутанности внешних воз- действий со стороны остальных частей, за достаточно боль- шой промежуток времени выделенная нами подсистема побы- вает достаточно много раз во всех возможных своих состоя- ниях. Точнее это обстоятельство надо сформулировать следую- щим образом. Обозначим через ApAq некоторый малый участок «объема» фазового пространства подсистемы, соответствующий значениям ее координат qi и импульсов ^, лежащими в неко- торых малых интервалах Aqi и Api. Можно утверждать, что в течение достаточно большого промежутка времени Т чрезвы- чайно запутанная фазовая траектория много раз пройдет через всякий такой участок фазового пространства. Пусть At есть та часть полного времени Т, в течение которой подсистема «нахо- дилась» в данном участке фазового пространства ApAq1) . При неограниченном увеличении полного времени Т отношение At/T будет стремиться к некоторому пределу ш= Нт —. A.1) х) Для краткости мы будем обычно говорить, как это принято, о том, что система «находится в участке Ар Ад фазового пространства», подразумевая при этом, что система находится в состояниях, изображающихся фазовыми точками в этом участке. 16 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I Эту величину можно, очевидно, рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произволь- ный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке Ар Aq фазового пространства. Переходя к бесконечно малому элементу фазового объема1) dq dp = dq\dq2 ... dqsdp\dp2 ... dps, A.2) мы можем ввести вероятность duo состояний, изображающих- ся точками в этом элементе, т. е. вероятность координатам qi и импульсам pi иметь значения, лежащие в заданных бесконечно малых интервалах между q^ pi и qi + dqi, pi -\- dpi. Эту вероят- ность duo можно написать в виде duo = р(ръ ... ,ps, qx ..., qs)dpdq, A.3) где p(pi,... ,ps, q\ ..., qs) есть функция всех координат и им- пульсов (мы будем обычно писать сокращенно р(р, q) или даже просто р). Функцию р, играющую роль «плотности» распределе- ния вероятности в фазовом пространстве, называют функцией статистического распределения (или просто функцией распре- деления) данного тела. Функция распределения должна, очевид- но, удовлетворять условию нормировки I pdpdq = l A.4) (интеграл берется по всему фазовому пространству), выражаю- щему собой просто тот факт, что сумма вероятностей всех воз- можных состояний должна быть равна единице. Чрезвычайно существенным для статистики является сле- дующее обстоятельство. Статистическое распределение данной подсистемы не зависит от начального состояния какой-либо дру- гой малой части той же системы, так как влияние этого на- чального состояния будет в течение достаточно большого про- межутка времени совершенно вытеснено влиянием остальных, гораздо более обширных частей системы. Оно не зависит также от начального состояния самой выделенной нами малой части, поскольку она с течением времени проходит через все возмож- ные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального. Поэтому статистическое распределение для малых частей системы можно найти, не решая задачи механики для этой системы с учетом начальных условий. 1) В дальнейшем мы будем всегда условно обозначать через dp и dq произ- ведения дифференциалов соответственно всех импульсов и всех координат системы. § 1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 17 Нахождение статистического распределения для любой под- системы и является основной задачей статистики. Говоря о «ма- лых частях» замкнутой системы, следует иметь в виду, что ма- кроскопические тела, с которыми нам приходится иметь дело, обычно уже сами по себе являются такими «малыми частями» большой замкнутой системы, состоящей из этих тел вместе с внешней средой, в которую они погружены. Если указанная задача решена и статистическое распределе- ние данной подсистемы известно, то можно вычислить вероятно- сти различных значений любых физических величин, зависящих от состояния этой подсистемы (т. е. от значений ее координат q и импульсов р). Мы можем также вычислить среднее значение любой такой величины /(р, д), получающееся путем умножения ее возможных значений на соответствующие вероятности и ин- тегрирования по всем состояниям. Обозначая усреднение чертой над буквой, можно написать формулу /= / f(p,q)p(p,q)dpdq, A.5) по которой вычисляются средние значения различных величин с помощью функции статистического распределенияг) . Усреднение с помощью функции распределения (или, как го- ворят, статистическое усреднение) освобождает нас от необхо- димости следить за изменением истинного значения физической величины f(p,q) со временем с целью определения ее среднего значения. В то же время очевидно, что в силу самого опреде- ления понятия вероятности, согласно формуле A.1), статисти- ческое усреднение полностью эквивалентно усреднению по вре- мени. Последнее означало бы, что, следя за ходом изменения величины со временем, мы должны были бы построить функ- цию / = /(?), после чего искомое среднее значение определилось бы как т v _dt. о Из изложенного ясно, что выводы и предсказания о поведе- нии макроскопических тел, которые позволяет делать статисти- ка, имеют вероятностный характер. Этим статистика отличает- ся от механики (классической), выводы которой имеют вполне /= Нт - [ f(t) 1) В этой книге мы будем обозначать усреднение чертой над буквой или уг- ловыми скобками: / или (/), руководствуясь при этом исключительно удоб- ством записи формул; второй способ предпочтительнее для записи средних значений громоздких выражений. 18 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I однозначный характер. Следует, однако, подчеркнуть, что веро- ятностный характер результатов классической статистики сам по себе отнюдь не лежит в самой природе рассматриваемых ею объ- ектов, а связан лишь с тем, что эти результаты получаются на основании гораздо меньшего количества данных, чем это нуж- но было бы для полного механического описания (не требуются начальные значения всех координат и импульсов). Практически, однако, при применении статистики к макро- скопическим телам ее вероятностный характер обычно совер- шенно не проявляется. Дело в том, что если наблюдать любое макроскопическое тело (находящееся в стационарных, т. е. не за- висящих от времени, внешних условиях) в течение достаточно большого промежутка времени, то окажется, что все характери- зующие это тело физические величины являются практически постоянными (равными своим средним значениям) и лишь срав- нительно очень редко испытывают сколько-нибудь заметные от- клонения; при этом разумеется, речь идет о макроскопических величинах, характеризующих тело в целом или его отдельные макроскопические же части, но не отдельные частицы1). Это основное для статистики обстоятельство следует из весьма об- щих соображений (изложенных в следующем параграфе) и тем более справедливо, чем сложнее и больше рассматриваемое тело. В терминах статистического распределения можно сказать, что если с помощью функции р(р, q) построить функцию распреде- ления вероятностей различных значений величины /(р, д), то эта функция будет иметь чрезвычайно резкий максимум при / = /, будучи сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в самой непосредственной близости к точке максимума. Таким образом, давая возможность вычислять средние зна- чения величин, характеризующих макроскопические тела, ста- тистика тем самым позволяет делать предсказания, оправды- вающиеся с весьма большой точностью для подавляющей ча- сти любого промежутка времени— настолько большого, что- бы полностью сгладилось влияние начального состояния тела. В этом смысле предсказания статистики приобретают практи- чески определенный, а не вероятностный характер. (Имея все г) Приведем пример, наглядно показывающий, с какой огромной точно- стью выполняется это правило. Если выделить в каком-либо газе участок, со- держащий, скажем, всего 1/100 грамм-молекулы, то оказывается, что сред- нее относительное отклонение, испытываемое энергией этого количества ве- щества, от своего среднего значения составляет всего ~ 10~п. Вероятность же найти (при однократном наблюдении) относительное отклонение, ска- жем, порядка 10~6, изображается чудовищно малым числом, ~ 10~3'10 СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 19 это в виду, мы в дальнейшем при употреблении средних значений макроскопических величин почти никогда не будем писать черты над буквой.) Если замкнутая макроскопическая система находится в та- ком состоянии, в котором для любой ее части, являющейся са- мой по себе макроскопическим телом, макроскопические физиче- ские величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям, то говорят, что система находится в состо- янии статистического равновесия (о нем говорят также как о термодинамическом или тепловом равновесии). Из предыду- щего видно, что если замкнутая макроскопическая система на- блюдается в течение достаточно большого промежутка време- ни, то подавляющую часть этого промежутка она проводит в состоянии статистического равновесия. Если в какой-нибудь на- чальный момент времени замкнутая макроскопическая система не находилась в состоянии статистического равновесия (напри- мер, была искусственно выведена из такого состояния внешни- ми воздействиями, после чего была вновь предоставлена самой себе, т.е. вновь стала замкнутой системой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние равновесия. Промежуток времени, в течение которого должен обязательно произойти пе- реход к статистическому равновесию, называют временем ре- лаксации. Говоря выше о «достаточно больших» промежутках времени, мы по существу имели в виду времена, большие по сравнению со временем релаксации. Теорию процессов, связанных с переходом в состояние рав- новесия, называют кинетикой] она не рассматривается собст- венно статистикой, изучающей системы, находящиеся в стати- стическом равновесии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистическое распределение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
