Рассмотрим теперь системы с «вырождением», в которых па- раметр порядка имеет несколько (п) компонент тц, но эффек- тивный гамильтониан зависит (в однородной системе) только от суммы их квадратов. Другими словами, если рассматривать со- вокупность величин rji как n-мерный вектор, то эффективный гамильтониан не зависит от его направления. Характерным примером является чисто обменный ферромаг- нетик, энергия которого не зависит от направления вектора на- магниченности. Другой пример представляет собой сверхтекучая жидкость (жидкий гелий), в которой роль параметра порядка играет конденсатная волновая функция ~=у^е*ф A03.1) (см. IX, § 26, 27). Эта комплексная величина представляет собой совокупность двух независимых величин, но энергия однород- ной жидкости зависит только от квадрата модуля |S|2 = no — плотности конденсата. Специфические свойства «вырожденных» систем обусловле- ны существованием в их колебательном спектре ветви (мягкой моды), связанной именно с колебаниями направления «вектора параметра порядка»; частота этих колебаний обращается в нуль в точке фазового перехода. Закон их дисперсии можно, с одной стороны, найти из макроскопических уравнений движения, а с другой — он должен удовлетворять требованиям масштабной ин- вариантности. Это позволяет, если эта гипотеза верна, полностью выразить кинетические критические индексы через термодина- мические. Сделаем это на примере жидкого гелия (R.A. F err ell, N. Meynyhard, H. Schmidt, F. Shwabl, P. Szepfalusy, 1967). 530 КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ГЛ. XII В этом случае «мягкой модой» является второй звук. Вбли- зи точки перехода он представляет собой совместные колебания сверхтекучей скорости vs и энтропии; амплитуда колебаний нор- мальной скорости во втором звуке vn ~ vsps/рп и вблизи точки фазового перехода (А-точки) мала вместе с ps. Напомним, что сверхтекучая скорость связана с фазой конденсатной функции волновой функции (vs = Н\7Ф/т), так что колебания vs означа- ют колебания фазы или, другими словами, направления «векто- ра параметра порядка». Закон дисперсии этих колебаний: и = и2к, A03.2) где U2 - \ — \ — (Ш6.6) — скорость второго звука (S — энтропия, Ср — теплоемкость единицы массы жидкости); вблизи А-точки можно заменить Т и S их значениями Т\ и S\ в самой этой точке, а плотность рп нормальной компоненты жидкости — ее полной плотностью р 1). При Т —)> Т\ плотность ps стремится к нулю по закону )/3, A03.4) где а — критический индекс теплоемкости: Срсо\Тх-Т\-а A03.5) (см. IX, B8.3)). Закон же стремления к нулю скорости щ зависит от знака индекса а. Если а > 0, так что Ср —)> оо, то Если же а < 0, то Ср стремится к конечному пределу (напомним, что критический индекс определяет поведение лишь особой ча- сти теплоемкости вблизи точки перехода!); тогда и2 с\э (ТА - Т)B-а)/6, а < 0. A03.6) ) Напомним (см. VI, § 130), что скорости первого и второго звука в жид- ком гелии вычисляются как корни дисперсионного уравнения №) +] + () =0. dpJs PnCv \ РпСр \dpJs Вне непосредственной близости к Л-точке мал коэффициент теплового рас- ширения, а вместе с ним мала и разность Ср — Cv, так что можно положить Ср и Cv. При Т —»> Та Ср заметно отличается от Cv. При этом, однако, стремится к нулю ps и с учетом этой малости получается A03.3). § 103 РЕЛАКСАЦИЯ В ЖИДКОМ ГЕЛИИ 531 Ниже будем считать, что а < 0 (как это, по-видимому, фактиче- ски имеет место для жидкого гелия: а ~ —0,02). Затухание второго звука описывается мнимой частью часто- ты. Вдали от А-точки, ниже ее, она мала, но возрастает по ме- ре приближения к А-точке, и в непосредственной ее окрестно- сти, при кгс ~ 1, затухание становится порядка единицы (т. е. Imo; ~ M)- Выше же А-точки, на достаточном удалении от нее, мы получим обычную затухающую тепловую волну (реше- ние уравнения теплопроводности) с законом дисперсии ш = гЛ-к2, A03.7) рсР где ус — коэффициент теплопроводности. Применим теперь гипотезу масштабной инвариантности, со- гласно которой вблизи А-точки закон дисперсии должен иметь вид ш = kzf(krc). Иначе можно записать эту зависимость как1) A03-8) (с другой функцией /), где v — критический индекс корреляци- онного радиуса. Справедливость законов дисперсии A03.2) и A03.7) не огра- ничена каким-либо условием удаленности от А-точки, но при за- данной температуре ограничена условием кгс <С 1 — длина вол- ны должна быть велика по сравнению с корреляционным ради- усом; в противном случае теряют применимость макроскопиче- ские уравнения, на которых эти законы основаны. Рассмотрим сначала область температур ниже точки перехо- да. Требование, чтобы при кгс <С 1 закон дисперсии был линеен по /с, определяет предельное выражение функции /(?) в A03.8): Тем самым определяется и зависимость закона дисперсии от тем- пературы: -Т)^-1^. A03.9) г) Эти соотношения должны быть верны во флуктуационной области, что во всяком случае требует выполнения неравенства \Т — Т\\ <С Т\. Существу- ют, однако, указания на то, что фактически в жидком гелии это неравенство должно выполняться с большим запасом, что означало бы наличие в теории некоторого малого числового параметра. 532 КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ГЛ. XII Сравнив этот результат с A03.6), находим Критические индексы v n а связаны друг с другом соотношением Зи = 2 - а (см. V, A49.2)); отсюда г) z=3-. A03.10) При Т —>• Т\ частота должна стремиться к конечному преде- лу; для этого должно быть /@) = const. Таким образом, закон дисперсии второго звука в самой А-точке: шоэк*. A03.11) При этом мнимая часть ио того же порядка величины, что и ве- щественная. При Т т^ Т\ закон дисперсии A03.11) справедлив для коротких волн, удовлетворяющих условию кгс ^> 1. Наконец, рассмотрим область температур Т > Т\. Здесь при кгс <С 1 зависимость со от к должна быть квадратичной. Для этого должно быть Тогда Сравнив с A03.7) и выразив v через а, найдем температурную зависимость коэффициента теплопроводности в виде xcv) (T - тх)~{2~а)/6. A03.12) Он стремится к бесконечности при Т —>• Т\ по закону, близкому к(т_Тл)-1/з. Во втором звуке мы имеем дело с колебаниями фазы Ф кон- денсатной волновой функции. Поэтому величина l/Imo; имеет также смысл времени релаксации фазы. При к —)> 0 она, есте- ственно, обращается в бесконечность — в однородной жидкости изменение фазы не связано с изменением энергии и потому фаза не может релаксировать. Время релаксации абсолютной величины |S| = у/щ — плот- ности конденсата — не совпадает, вообще говоря, со временем релаксации фазы. Но по смыслу масштабной инвариантности При а > 0 получилось бы z = 2-а § 103 РЕЛАКСАЦИЯ В ЖИДКОМ ГЕЛИИ 533 можно утверждать, что оба времени сравниваются по порядку величины при krc ~ 1. Согласно A03.9) имеем для этого време- ни cj(l/rc) Со значением z из A03.10) находим тс\э(Тл-Т)-1+а/2. A03.13) Время релаксации плотности конденсата остается конечным и при к —>> 0, отнюдь не обращаясь в бесконечность, как для фазы. Поэтому закон температурной зависимости A03.13) для релакса- ции плотности конденсата остается в силе и при к = 0 (В.Л. По- кровский, И.М. Халатников, 1969) г).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Релаксация в жидком гелии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
