Физическая природа кинетических явлений (теплопровод- ность, электропроводность) в газах состоит в процессах переноса, осуществляемого тепловым движением частиц газа; в кинетиче- ских явлениях в твердых телах роль частиц переходит к ква- зичастицам. Приступая к изучению этих явлений, мы начнем с теплопроводности немагнитных диэлектриков. Сравнительная простота физической картины этого явления, по сравнению с ки- нетическими процессами в других типах твердых тел, связана с тем, что здесь фигурируют квазичастицы лишь одного сорта — фононы. Напомним (см. V, § 72), что представление о свободных фоно- нах возникает в результате квантования колебательного движе- ния атомов в кристаллической решетке в гармоническом при- ближении, т. е. с учетом лишь квадратичных (по смещениям атомов) членов в гамильтониане. Различные же процессы вза- имодействия фононов возникают при учете членов следующих порядков малости — ангармонических членов третьего и т. д. порядков по смещениям г). Первые ангармонические члены — кубические — в классиче- ской энергии решетки имеют вид ЯC) = \ (iw) F6.1) Здесь Us(n) - векторы смещения атомов в решетке; а, /3, 7 ~~ векторные индексы, пробегающие значения ж, у, z\ si, 52, 53 — но- мера атомов в элементарной ячейке; ni, 112, 113 — целочисленные «векторы», определяющие положение ячейки в решетке; символ (us) под знаком суммы означает, что суммирование производит- ся по всем п и по всем s; ввиду однородности кристалла функ- ции Л зависят только от взаимных расстояний ni — 113, 112 — 113 между ячейками, но не от их абсолютных положений в решетке. ) Необходимость учета ангармоничности колебаний атомов в решетке при рассмотрении теплопроводности кристалла была впервые указана Деваем (P. Debye, 1914) и Борном (М. Вот, 1914). 344 диэлектрики гл. vn Вторично-квантованный гамильтониан получается подста- новкой в F6.1) вместо векторов смещений операторов Us(n), выраженных через операторы рождения cj^ и уничтожения c^g фононов сорта (т. е. ветви фононного спектра) g и с квазиим- пульсом к формулой ^(k)ezkrn +с^е^*(к)е-гкГп}, F6.2) где N — число ячеек в решетке, М — суммарная масса атомов в ячейке, е$ (к) — векторы поляризации фононов, ujg(k) — энер- гия фонона сорта g г). При подстановке возникают члены, содер- жащие операторы сГи <?+ в различных комбинациях по три. Эти члены описывают процессы с участием трех фононов: произведе- ния вида сГ+<?+<?— распад одного фонона на два, а произведения вида д+сс — слияние двух сталкивающихся фононов в один (чле- ны же ссс и д+с+д^ отвечают процессам, запрещенным законом сохранения энергии). Напишем, например, члены, отвечающие распаду фонона (kigi) на два фонона (k2g2) и (k3g3)- Перейдя в F6.1) от сум- мирования по ni, П2, пз к суммированию по V\ = ni — П3, 1/2 = = П2 — пз, пз напишем эти члены в виде Й®° = V/^f!)^ S -P i^ ~Ъ- кз)г„3}, F6.3) пз где О = BМ)/2 х х ^A^72S3(i/bi/2)eic,e^e^7exp{i(kirI/1 -к2г„2}, F6.4) {us) ci=cklgl, u)i =cjgl(ki), ei = e^l)(ki), ... В F6.3) выделен экспоненциальный множитель, зависящий от абсолютного положения пз ячейки в решетке. Суммирование этого множителя по всем пз дает Л/", если ki — k2 — кз совпадает с каким-либо периодом обратной решетки Ь, или нуль в противном случае. Поэтому ) В этой главе пользуемся системой единиц, в которой Л = 1. В этой систе- ме размерности импульса и волнового вектора совпадают; то же относится к размерностям энергии и частоты. § 66 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ 345 причем квазиимпульсы фононов удовлетворяют закону сохране- ния ki = к2 + к3 + Ь. F6.6) Условие F6.6) следует рассматривать как уравнение, опреде- ляющее значение, скажем, квазиимпульса кз, по заданным зна- чениям ki и к2. При этом надо брать значения ki и к2 внутри некоторой выбранной одной элементарной ячейки обратной ре- шетки (заключающей в себе все физически различные значения квазиимпульса) и следить за тем, чтобы и кз тоже оказалось в этой ячейке. Последнее условие определяет необходимое зна- чений b в F6.6), причем однозначным образом. Действитель- но, если при заданных ki, k2, b вектор кз лежит в выбранной ячейке, то любое изменение b заведомо вывело бы кз из этой ячейки. Процессы (в данном случае — распад фонона), при ко- торых закон сохранения квазиимпульса содержит отличный от нуля вектор Ь, называются процессами с перебросом1), в отли- чие от нормальных процессов с b = 0. Надо сказать, что раз- личие между этими двумя категориями процессов в известном смысле условно: каждый конкретный процесс может оказаться нормальным или с перебросом в зависимости от выбора основ- ной ячейки. Существенно, однако, что никаким выбором нельзя обратить b в нуль одновременно для всех возможных процес- сов. Целесообразно выбирать основную ячейку обратной решет- ки так, чтобы точка к = 0 (бесконечная длина волны) находилась в ее центре; это будет подразумеваться везде ниже. При таком выборе всем низкочастотным фононам отвечают малые значения квазиимпульса (к <С 1/d, d — постоянная решетки), а все процес- сы с участием одних только низкочастотных фононов являются нормальными2). Большие же значения квазиимпульса (к ~ l/d) будут отвечать коротковолновым фононам с большой энергией (порядка величины дебаевской температуры в). Вернемся к процессу распада фонона. Согласно общим пра- вилам квантовой механики (см. III, D3.1)), вероятность распа- да, при котором квазиимпульс одного из двух возникающих но- вых фононов лежит в интервале о!3А;2, дается квадратом соответ- ствующего матричного элемента оператора возмущения F6.5) согласно формуле dW = 2tt|GVi - 1,JV2 + 1,JV3 + 1\H^\NUN2,N3)\2 x r/ \Vdsk2 (aa n\ X d(U)i -UJ- U3) , F6.7) x) Umklapp — по немецкой терминологии. 2) Если же, например, выбрать основную ячейку так, чтобы точка к = 0 лежала в одной из ее вершин, то малым частотам будут отвечать также и окрестности других вершин, вблизи которых к уже не малы. 346 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII где Ni = -A/kigu ^2, Щ — числа заполнения фононов в началь- ном состоянии кристалла. Матричные элементы операторов рож- дения и уничтожения фононов даются формулами (N - l\c\N) = (N\c + \N - 1) = VN. F6.8) В результате получаем вероятность распада в виде dW = wN^Ni + 1)(JV3 + 1Жал -и>2- "з)^г, F6.9) где w = w(g2k2,g3k3;giki) = -^-Щ2 F6.10) (v = V/M — объем ячейки кристаллической решетки). Таким образом, вероятность процессов пропорциональна числу N\ на- чальных фононов в начальном состоянии кристалла, а также числам конечных фононов (N2 + 1 и Щ + 1) в конечном состоя- нии кристалла. Последнее свойство связано со статистикой Бозе, которой подчиняются фононы, и характерно вообще для всех процессов с участием бозонов г). Процессом, обратным распаду, является «слияние» двух фо- нонов к2 и кз в один фонон ki. Легко найти, что члены в гамиль- тониане, ответственные за этот процесс, отличаются от F6.5) заменой произведения с-операторов в числителе на сГ-^с^сз и за- меной О на О*. Поэтому вероятность этого процесса дается фор- мулой, отличающейся от F6.9) лишь TV-множителями: dW = wN2N3(N1 + 1)<У(ол -и>2- ^з)^%- F6.11) BтгK Функции же w здесь и в F6.9) одинаковы. Последнее обстоя- тельство отвечает общему правилу: в борновском приближении (первое приближение теории возмущений) вероятности прямого и обратного элементарных актов рассеяния одинаковы (см. III, § 126). Среди различных ветвей фононного спектра всегда имеет- ся три акустических, в которых энергия стремится к нулю при к—)> 0; для длинноволновых (малые к) акустических фононов за- висимость (j(k) линейна. Для дальнейшего будет существенным поведение функции w F6.10) для таких фононов. Функция распределения фононов JVk (или iV(k)) будет определяться как числа заполнения квантовых состояний с различными значениями ква- зиимпульса к. Число состояний, приходящих на элемент dsk к-пространства, есть dsk/B7r)s, так что распределение, отнесенное к dsk, есть ЛГк/BтгK. § 66 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ 347 Его можно выяснить, заметив свойство коэффициентов Л в гамильтониане F6.1), выражающее собой тот факт, что простое смещение кристалла как целого не меняет его энергии — вне за- висимости от того, деформирован ли уже кристалл или нет. Это значит, что энергия Н^ не должна измениться, если заменить в ней любой из множителей Us(n) на Us + а с независящим от n, s вектором а. Для этого необходимо, чтобы было Ag™(ni,n2,ti3)=0, F6.12) nisi где суммирование производится хотя бы по одной паре перемен- ных nisi. Из трех участвующих в процессе фононов могут быть длин- новолновыми акустическими либо один, либо все три (с двумя такими фононами при третьем коротковолновом не могут быть соблюдены законы сохранения импульса и энергии). Для акусти- ческого фонона в пределе к —>• 0 поляризационные векторы es (к) стремятся к независящей от s постоянной, так как все атомы в ячейке колеблются вместе; множители же ехр (ikrn) стремятся к единице. В силу свойства F6.12), величина О F6.4) стремит- ся, следовательно, к нулю, а при малых к пропорциональна к или (что то же для акустического фонона) пропорциональна ио. В результате находим, что wcofci, F6.13) если длинноволновым является один фонон, или wookik2kz, F6.14) если длинноволновые все три фонона. К результату F6.13), F6.14) можно прийти и более нагляд- ным путем, вспомнив, что длинноволновые акустические фо- ноны отвечают макроскопическим звуковым волнам, которые допускают рассмотрение с помощью макроскопической теории упругости. В этой теории энергия деформированного кристалла выражается через тензор деформации 1 ( dUa . dUe\ /аа 1 с\ - ( — + -^- ) , 66.15 2 \ дх дх ) где U(г) — вектор макроскопического смещения точек упругой среды. Именно компоненты этого тензора являются теми ма- лыми величинами, по которым происходит разложение упругой энергии. При вторичном квантовании вектор U заменяется опе- ратором U, аналогичным F6.2). Дифференцирование же U по координатам для построения операторов Uap дает тот дополни- тельный множитель /с, который и приводит к законам F6.13), F6.14).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Взаимодействие фононов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Функция распределения фононов JVk (или iV(k)) будет определяться 