Наличие у дисперсионного уравнения корней в верхней о;-полуплоскости означает, что малое начальное возмущение в виде плоской волны возрастает, т. е. система неустойчива по от- ношению к такому возмущению. Реально, однако, всякое началь- ное возмущение представляет собой «волновой пакет» конечных размеров в пространстве, и плоские волны представляют собой лишь его отдельные фурье-компоненты. С течением времени па- кет «расплывается», а его амплитуда (в неустойчивой системе) возрастает. В то же время, однако, как и всякий волновой пакет, он будет перемещаться в пространстве. Здесь могут иметь место два случая. В одном случае, несмотря на перемещение пакета, возмуще- ние неограниченно возрастает в любой точке пространства; та- кую неустойчивость называют абсолютной. В другом случае па- кет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при t —>> оо к нулю; такую неустойчивость называют конвективной. Сразу же подчеркнем, что это различие относительно в том смысле, что характер неустойчивости всегда определяется по от- ношению к той или иной системе отсчета и переход от одной системы к другой может изменить этот характер: конвективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в си- стеме, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустой- чивость становится конвективной в системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета. Это обстоятельство, однако, отнюдь не лишает физического смысла различие между двумя типами неустойчивости. В реаль- ных постановках задачи всегда существует выделенная с экспе- риментальной точки зрения система отсчета, относительно ко- торой и следует рассматривать неустойчивость. Допустимость рассмотрения физической системы, как бесконечно протяжен- ной, не исключает того факта, что реально она имеет границы (например, стенки), которые и служат «лабораторной системой отсчета». Более того, фактическая ограниченность системы мо- жет приводить к тому, что при конвективной неустойчивости 326 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ГЛ. VI возмущение может вообще не успеть развиться, прежде чем па- кет будет «вынесен» за границы системы (например, при течении жидкости по трубе). Излагаемая ниже теория, позволяющая установить критерий различения обоих типов неустойчивости, имеет очень общий ха- рактер 1). Речь может идти о любой вообще однородной и беско- нечной (хотя бы в одном направлении — ось х) системе. Поэтому мы не будем конкретизировать здесь природу среды и возмуще- ния в ней, обозначая последнее как некоторое ф(Ь,т). При этом мы ограничимся случаем одномерного пакета. Если речь идет о трехмерной системе, то это значит, что рассматриваются возму- щения вида с заданными значениями ку, kz. Представим ф(Ь,х) в виде одностороннего разложения Фурье по времени — от t = 0 (момент возникновения возмущения) до t = ос. Компоненту такого разложения обозначим через (р(си,х): <p(w,x) = f^(t,x)eiujtdt. F2.1) о В дальнейшем нам придется рассматривать возмущения, возрас- тающие при t —»> ос. Мы будем предполагать (как это фактиче- ски имеет место), что это возрастание происходит не быстрее, чем по некоторому экспоненциальному закону exp (dot). Тогда интеграл F2.1) можно сделать сходящимся, считая со комплекс- ной величиной с Imcj = а > ctq. В этой области (р(ш,х) как функция комплексной переменной си не имеет особенностей. В области же 1т си < а о функцию (р(ш,х) следует понимать в смыс- ле аналитического продолжения; здесь она, разумеется, имеет особенности. Обратное выражение для функции ip(t,x) через ее фурье- образ имеет вид оо+гсг е-**<р(ш,х)^, F2.2) —оо+гсг причем сг > сто, так что путь интегрирования в F2.2) (будем называть его cj-контуром) проходит в верхней полуплоскости си выше всех особых точек функции <р(и;,х). х) Такой критерий был установлен впервые Стэрроком (Р.Л. Sturrock, 1958). Излагаемая ниже формулировка критерия принадлежит Бригсу (R.J. Briggs, 1964), которому мы в основном и следуем в § 62-64. § 62 АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 327 Функцию <p((jj,x) в свою очередь разложим в интеграл Фурье по координате х: оо ф,х)= J Ф^е^ F2.3) —оо (опускаем для краткости индекс у кх). Функция фшк получается в каждом конкретном случае путем решения линеаризованных «уравнений движения» исследуемой системы и имеет вид ф(+) = ёшк /б2в4) ^ A(w,fc)' l > где guk определяется начальным возмущением, а функция A(c<j, к) характерна для системы как таковой (так, для плаз- мы роль «уравнения движения» играет кинетическое уравнение, A(c<j, к) оказывается продольной диэлектрической проницаемо- стью плазмы, a guk выражается через фурье-компоненту началь- ного возмущения формулой C4.12)). Будем считать, что g^k как функция комплексных перемен- ных си и к не имеет особенностей при конечных значениях этих переменных, т. е. является их целой функцией х). Все особые точ- ки ф,1 совпадают тогда с особенностями множителя . Ра- ик А(ш,к) венство А(си,к) = 0 F2.5) представляет собой дисперсионное уравнение системы; его кор- ни си (к) определяют частоты колебаний с заданными (веществен- ными) значениями волнового вектора к. Как мы видели в § 34, именно эти частоты определяют асимптотический (при t —>• ос) закон изменения со временем фурье-компоненты возмущения с заданным значением к: Если исходить из этого закона, то нахождение асимптотического закона изменения возмущения в заданной точке пространства требовало бы исследования интеграла ф(Ь, X) ~ / e-i"'(k)teu"(k)teikx dk F26) При наличии неустойчивости, когда в некоторой области значе- ний к имеем ио"(к) > 0, один из множителей в подынтегральном х) Для этого во всяком случае необходимо, чтобы начальный волновой пакет достаточно быстро (быстрее чем ехр (—а|ж|)) убывал в пространстве. 328 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ выражении при t —>• оо неограниченно растет, а другой стано- вится бесконечно быстро осциллирующей функцией; эти проти- воположные тенденции затрудняют оценку интеграла. Вместо этого вернемся к выражению ij)(t,x) в виде F2.2), до выполнения интегрирования по ио. Сместим о;-контур вниз до его «зацепления» за первую (наиболее высокую, т. е. с наибольшим ио") особую точку функции <р(а;,ж); пусть эта точка лежит при (jj = (jjc (как будет ясно из дальнейшего, иос не зависит от х). Очевидно, что асимптотическое значение интеграла определяет- ся окрестностью именно этой точки, так что со e~iWct = exp (-ioofct + oo"t). F2.7) Если со" > 0, то возмущение растет в каждой фиксирован- ной точке ж, т. е. неустойчивость абсолютна. Если же со" < О, то в фиксированных точках возмущение стремится к нулю — неустойчивость конвективна. Искомый критерий сводится, та- ким образом, к определению иос. Функция ср(ш,х) дается интегралом F2.3) с ф^к из F2.4): -/ _eikxdk_ ) 2тг' F2i Поскольку, по предположению, guk — целая функция /с, то осо- бенности подынтегрального выражения (как функции комплекс- ного к) лежат в особых точках множителя ; обычно речь идет о полюсах — корнях к(со) уравнения F2.5). Ск) (к) б в А \в Рис. 22 Пусть при некотором значении ио (точка на о;-контуре) с до- статочно большой (положительной) мнимой частью ио" = а осо- бые точки лежат в fc-плоскости, как показано на рис. 22, — некоторые в верхней, а другие в нижней полуплоскости. Путь § 62 АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 329 интегрирования по А; в F2.8) (назовем его fc-контуром) прохо- дит при этом вдоль вещественной оси. Будем теперь изменять со, постепенно уменьшая со". Особые точки будут перемещаться (в fc-плоскости) и при некоторых значениях со могут достигнуть ве- щественной оси1). Эти значения со не будут еще являться осо- быми для функции (р(ио,к): ничто не мешает сдвинуть /с-контур таким образом, чтобы увести его из окрестности особых точек, пересекших вещественную ось (как это показано на рис. 22 6). Особенность интеграла возникает, однако, если две перемеща- ющиеся особые точки сближаются, зажимая между собой путь интегрирования, и, таким образом, устраняют возможность уво- да этого пути из их окрестности (рис. 22 в). Таким образом, значение со, определяющее характер неустой- чивости, отбирается из числа тех значений со, при которых два корня к(со) дисперсионного уравнения сливаются. При этом в рассмотрение входят только те случаи слияния, когда два кор- ня сходятся с разных сторон fc-контура; другими словами, при ио" —>• оо эти корни должны лежать по разные стороны веществен- ной оси. Отметим, кстати, что поскольку значения иос определя- ются только свойствами функции , то их независимость A(cj, к) от х очевидна. При слиянии двух простых корней уравнения возникает крат- ный (второго порядка) корень. Вблизи такого корня дисперсион- ное уравнение имеет вид ) I@) =0, F2.9) так что к — кссо =Ь (со — cOqI'2 2). Отметим, что в точке ио = иос функция со (к) удовлетворяет условию — = 0, F2.10) d к т. е. со с является седловой точкой аналитической функции со (к). 1) В случае неустойчивой среды выход особой точки на вещественную ось к должен (хотя бы в некоторой области значений ио') произойти еще при ио" > 0, так как заведомо имеются такие корни уравнения А(ио,к) = 0, для которых при вещественном к мнимая часть ио > 0. 2) В некоторых случаях может иметь место слияние также и большего чи- сла корней с возникновением корня более высокого порядка. Такие случаи, однако, могут, вообще говоря, отвечать лишь специальным значениям пара- метров системы, поскольку они накладывают дополнительные ограничения на точки cjc, kc: в разложении А(ио,к) должны обращаться в нуль также и некоторые другие (помимо (дА/дк)с) коэффициенты. 330 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ Интеграл F2.8), взятый по окрестности точки к = кС1 с точ- ностью до постоянного множителя имеет вид F2.11) функция <р(а;, х) имеет при ио = иос корневой полюс. Интеграл же F2.2), взятый теперь по окрестности точки ио = иос как функция от t и ж, имеет вид ) о: e ^62el2j л/t (поскольку это асимптотическое выражение получено при t —>> оо и фиксированном ж, оно справедливо лишь при \ксх\ <С |cjct|). Хотя слияние корней дисперсионного уравнения являет- ся основным источником возникновения особенностей функции <р(ш,х) (и именно им определяется обычно характер неустой- чивости), упомянем еще и другой тип особенностей, возникаю- щий на частоте, для которой корень дисперсионного уравнения \к\^ оо1). Мнимая часть такой частоты иос, однако, фактически всегда отрицательна и потому заведомо не может привести к аб- солютной неустойчивости (положительность ш" означала бы в данном случае неустойчивость системы по отношению к колеба- ниям с бесконечно малой длиной волны). С таким случаем мы встретимся ниже (см. F3.10)). Как уже подчеркивалось, неустойчивость, являющаяся кон- вективной в одной (лабораторной) системе отсчета, может стать абсолютной в другой системе. Поставим себе целью найти ско- рость V той системы отсчета, в которой неустойчивость абсолют- на с максимальным инкрементом. Переход от лабораторной системы к системе отсчета, движу- щейся со скоростью V, осуществляется заменой во всех форму- лах uj —>• uo — kV. Как мы видели выше, значение иос отвечает тому моменту, когда по мере уменьшения ио11 на о;-контуре сливаются два полюса функции в fc-плоскости, причем эти полюсы A(cj,fc) должны прийти к точке слияния с разных сторон вещественной оси, а потому один из них должен предварительно пересечь эту ось. Обозначим через с^ах максимальное (не зависящее от У!) значение ио" при вещественных значениях к. Поскольку и)"(к, V) г) Такой корень приводит к существенно особой точке функции (р(и,х). Так, если \к\ стремится к бесконечности по закону к~п = С (и— cjc), то вклад от окрестности особенности в интеграл F2.8) гх 1ехРТ777 ^ГГ' § 63 УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ 331 заведомо меньше того значения ио1' при котором полюс пересек вещественную ось, то ш"(к, V) ^ u'maiX при всех V. Это означает, что наибольшее значение w" достигается, если слияние полюсов происходит на вещественной оси в точке максимума со" (к). Заме- нив в F2.10) ио(к) на uo(k)—kV и отделяя мнимую и вещественную части равенства (при вещественных /с), найдем два уравнения: ^- = 0, F2.13) d к V = —. F2.14) dk v J Таким образом, наибольший инкремент неустойчивости да- ется максимальным значением ио" {к) как функции вещественно- го к. Скорость же системы отсчета, в которой такая неустой- чивость имеет место, определяется соответствующим значени- ем производной duo1/dk. Это значение V естественно принять в качестве определения групповой скорости волнового пакета в конвективно-неустойчивой среде.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Абсолютная и конвективная неустойчивость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
