Если характерные пространственные размеры L в движущей- ся плазме велики по сравнению с длинами свободного пробега, L » I, E8.1) то можно считать, что благодаря столкновениям в каждом небольшом участке плазмы устанавливается термодинамическое равновесие со своими местными значениями температуры (оди- наковыми для электронов и ионов), давления и т. п. В таких слу- чаях движение плазмы может описываться макроскопическими гидродинамическими уравнениями. Уравнения магнитной гидродинамики были написаны в VIII, § 51. При этом, однако, подразумевалось, что кинетические ко- эффициенты среды (ее вязкость, теплопроводность) не зависят Напомним, что формулы E5.7) предполагают также и соблюдение усло- вия E5.4): шве § 58 ГИДРОДИНАМИКА МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ 293 от магнитного поля. В плазме для этого должны быть выполне- ны условия (втрое условие следует из первого). Эти условия часто оказыва- ются слишком жесткими, в связи с чем возникает необходимость в составлении гидродинамических уравнений, свободных от ука- занного ограничения1). Уравнение непрерывности для массовой плотности р сохра- няет, конечно, свой обычный вид + divpV 0, E8.2) где V — макроскопическая скорость. Остается прежним также и общий вид уравнения Навье-Стокса и уравнение сохранения энергии = -div \pV (— + w)- (ct'V) + —[ЕВ] + ql , E8.4) L V 2 / 4тг J где а^п — тензор вязких напряжений; (tr'V) обозначает вектор с составляющими cr^nVp] q — плотность потока энергии, вклю- чающая в себя как диссипативную часть, связанную с тепло- проводностью и термоэлектрическими явлениями, так и конвек- тивный перенос энергии током (см. ниже определение E8.8)); U и W — внутренняя энергия и тепловая функция среды, от- несенные к единице ее массы. Тензор а'ао и вектор q должны быть выражены через градиенты термодинамических величин и скорости; вид этих выражений как раз и зависит от магнитного поля. В связи с уравнением E8.3) необходимо сделать следующее замечание. В этом уравнении учтена сила, действующая на плаз- му со стороны магнитного поля (последний член слева), но опу- щена сила e(zNi - Ne)B, действующая со стороны электрического поля. Это пренебреже- ние в данном случае оправдано: из условия E8.1) следует, что и Кроме того, в VIII, § 51, были опущены члены в уравнениях, описы- вающие термоэлектрический эффект. 294 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V подавно L ^> a, a потому плазма квазинейтральна, так что мож- но положить zNi = Ne и некомпенсированные заряды в плазме отсутствуют 1). К уравнениям E8.2)—E8.4) надо добавить уравнения Макс- велла для квазистационарного электромагнитного поля (уравне- ния без тока смещения): rotE = -± —, divB = 0, rotB = — j. E8.5) с dt с Напомним, что квазистационарность поля означает малость ча- стоты его изменения ио в смысле ио <С c/L. При этом элек- трическое поле, индуцируемое переменным магнитным полем, Е ~ uoLB / с <С В] именно поэтому в E8.4) надо учитывать плот- ность энергии лишь магнитного, но не электрического, поля. От- метим также, что пренебрежение током смещения находится в соответствии с предположением о квазинейтральности плазмы: из последнего уравнения E8.5) следует divj = 0. Наконец, надо присоединить уравнение, выражающее «обоб- щенный закон Ома», вида E + i[VB] = F, E8.6) с где F — некоторая линейная комбинация тока j и градиентов термодинамических величин. Напомним (ср. VIII, § 49), что про- исхождение комбинации из Е и В в левой части E8.6) связано с преобразованием Е при переходе от системы покоя данного эле- мента объема среды к системе отсчета, в которой он движется со скоростью V. В квазинейтральной плазме относительная концентрация ее компонент (электроны и ионы) есть заданная неизменная вели- чина (Ne/Ni = z). Поэтому независимыми термодинамическими переменными являются лишь температура и давление; вопрос о выражении F и q через градиенты этих величин (и ток j) фор- мально совпадает с таким же вопросом в теории термогальвано- магнитных эффектов в металлах (см. VIII, § 25) 2). Соотношения между j и q, с одной стороны, и полем и гради- ентами термодинамических величин — с другой, записываются г) Это рассуждение основано на неравенстве / ^> а. Напомним, что мы вез- де имеем в виду полностью ионизованную плазму. В частично ионизованной плазме неравенство I ^> а может не выполняться ввиду уменьшения длины пробега благодаря столкновениям с нейтральными атомами, и тогда требо- вание L ^> а надо рассматривать как дополнительное условие, необходимое для пренебрежения объемной электрической силой. ) Снова напомним, что речь идет о полностью ионизованной плазме. На- личие нескольких видов тяжелых частиц (различные ионы, нейтральные атомы) потребовало бы учета соответствующих диффузионных процессов. § 58 ГИДРОДИНАМИКА МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ 295 в виде, обобщающем соотношения D4.12), D4.13): Ча = -—За + Ра/ЗЗр ~ ^ —• E8.8) е охр Здесь \ie — химический потенциал электронов, а тензоры а'ао, ааC? fiaC зависят, как от параметра, от магнитного поля В. От- сутствие в левой части E8.8) члена — <#j (ср. D4.13)) связано с тем, что величина (pj уже учтена в E8.4) вектором Пойнтинга в плотности потока энергии. В этом легко убедиться, преобразовав с помощью уравнений Максвелла E8.5) его дивергенцию: -div— [ЕВ] = ^- — +JE = ^- — - div(^j). 4ttL J dt8ir J dt8ir K™J Таким образом, поток энергии q в E8.8) уже не содержит в себе переноса частицами энергии — еср. В силу принципа Онсагера, коэффициенты в соотношениях E8.7), E8.8) связаны друг с другом соотношениями аар(В) = <тра(-В), хар(В) = хра(-В), E8.9) Рар(В)=ТаРа(-В). E8.10) Поскольку В — единственный имеющийся в нашем распоря- жении векторный параметр, зависимость тензоров от направле- ния b = В /В может быть написана в общем виде аар(В) = а\8ар + a2babf3 + азеар^Ь7 E8.11) (и аналогично для остальных тензоров), где скалярные коэф- фициенты «1, «2, «з — функции величины поля В] такая зави- симость удовлетворяет требованию симметрии по отношению к инверсии: В — аксиальный вектор, и его компоненты не меняют знак при инверсии, как должно быть и для компонент истинных тензоров аа{з, ... Отметим, что выражения вида E8.11) автома- тически удовлетворяют соотношениям E8.9), а E8.10) принима- ет вид /?а/3(В)=Таа/3(В). E8.12) При фактическом применении выражений E8.7), E8.8) в маг- нитной гидродинамике градиент химического потенциала удоб- нее выразить через градиенты давления и температуры согласно V/ie = -seVT + — 296 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Pz где Ре = NeT = — парциальное давление электронов в 1 + z плазме, se и we — энтропия и тепловая функция электронной компоненты плазмы, отнесенные к одной частице. Окончательно перепишем соотношения E8.7), E8.8) в векторном виде как eN = к + IL + A/"[BVT], E8.13) q + ^j = a||Tj|| + a±Tj± + A/"T[Bj] - + ?(BVT], E8.14) где введены новые обозначения для коэффициентов (все они — функции В), а индексы || и _L означают составляющие векторов, продольные и поперечные относительно В. Определение коэф- фициента ац в E8.13) отличается от его определения в E8.7) включением в него величины se/e. Коэффициенты 7?, Л/", С опи- сывают соответственно так называемые эффекты Холла, Нерн- ста и Ледюка-Риги. Напомним также, что члены 7?[Bj] в E8.13) и ?[BVT] в E8.14) представляют собой бездиссипативные кине- тические эффекты: они выпадают из произведений Ej и qVT и потому не связаны с увеличением энтропии. Что касается тензора вязких напряжений <т^д, то его общее выражение через градиенты макроскопической скорости было написано уже в § 13. В применении к плазме это выражение несколько упрощается ввиду обращения в нуль обоих коэффици- ентов второй вязкости ? и (д. Равенство нулю коэффициента ? есть общее свойство всех одноатомных газов, к каковым отно- сится и плазма. Причина же отсутствия члена с (д объяснена в следующем параграфе. Остальные члены в A3.18) в применении к плазме целесооб- разно несколько перегруппировать, имея в виду, что в плазме влияние магнитного поля на вязкость является, вообще говоря, сильным эффектом (а не слабым, как в нейтральном газе); поэто- му не имеет смысла выделять обычный коэффициент вязкости г/. Представим здесь а'ао в виде, отличающемся от A3.18) лишь тем, что член с г/ заменен членом - I div V) , E8.15) где (вместо h) b = В /В; о целесообразности такого определения г/о см. ниже, примеч. на с. 308. § 59 КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 297 Если выбрать ось z в направлении Ь, то компоненты тензора напряжений примут вид Vyy) zz - i div v) + m(Vxx - Vy j'yy = -Щ (Vzz - \ div V) + m(Vxx - Vyy) - 2mVxy, ^-idivV), E8.16)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения гидродинамики магнитоактивной плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что формулы E5.7) предполагают также и соблюдение усло- 