Мы уже упоминали в §41, что в пределе сколь угодно мед- ленно меняющегося со временем возмущения вероятность пере- хода системы из одного состояния в другое стремится к нулю. Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив веро- ятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиаба- тического) воозмущения (Л. Д. Ландау, 1961). Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся функция времени, стремящаяся к определенным пределам при t —)> ±оо. Пусть, далее, ipn(q,t) и Еп(t) — собственные функции и собственные значения энергии (зависящие от времени, как от параметра), получающиеся в результате решения уравнения Шредингера Н(Ь)фп = Епфп; ввиду адиабатического характера временного изменения Н зависимости Еп и фп от времени также § 53 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ 245 являются медленными. Стоящая перед нами задача состоит в определении вероятности w2i нахождения системы при t —>• +00 в некотором состоянии ф2, если при t —>> — ос она находилась в состоянии ф\. Медленность возмущения приводит к большой длительности «процесса перехода», и потому изменение действия за это время (даваемое интегралом — J E(t)dt) велико. В этом смысле постав- ленная задача имеет квазиклассический характер и в определе- нии искомой вероятности перехода существенную роль играют те значения t = to, для которых ??i(t0) = E2(t0) E3.1) и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в клас- сической механике (ср. §52); в действительности, разумеется, такой переход классически невозможен, что выражается ком- плексностью корней уравнения E3.1). В связи с этим возникает необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шре- дингера при комплексных значениях параметра t в окрестности точки t = to, в которой два собственных значения энергии ста- новятся равными. Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции ^ъ ф2 сильно зависят от t. Для определения этой зависимости вве- дем предварительно их линейные комбинации (обозначим их че- рез (?i, ср2), удовлетворяющие условиям [ 2 Г 2 Г I (р-л dq = / (ро dq — 0, / ^р\^р2 dq = 1. E3.2) J J J Этого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных коэффициентов (функций от t). Функции (pi, cp2 уже не имеют особенности при t = to. Будем теперь искать собственные функции в виде линейных комбинаций ф = a\ip\ + a2(p2. E3.3) При этом надо иметь в виду, что при комплексных значени- ях «времени» t зависящий от него оператор H(t) (вида A7.4)) по-прежнему совпадает со своим транспонированным (Н = Н), но уже не является эрмитовым (Н ф й"*), поскольку потенци- альная энергия U(t) ф U(t)*. Подставим E3.3) в уравнение Шредингера и, умножив его слева один раз на (/?i, а другой раз на (р2, проинтегрируем по dq. Введя обозначения Hik(t) = / (fiHifkdq E3.4) 246 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII и учитывая, что Н\2 = Н2\ ВВИДУ указанного свойства гамиль- тониана, получим систему уравнений: Н12а2 = Еа2, _3 _ H22CL2 = Еп\. ^ ' ' Условие разрешимости этой системы дает уравнение (Н\2—ЕJ = = НцН22, корни которого определяют собственные значения энергии = Н\2 ± у Н\\Н22. E3.6) После этого из E3.5) находим . E3.7) Из E3.6) видно, что для совпадения в точке t = to двух соб- ственных значений в ней должно обращаться в нуль Нц или Н22] пусть это будет Нц. Обращение функции в нуль в регулярной точке происходит, вообще говоря, пропорционально t — to. По- этому E(t) - E(t0) = ± const V*-*o, E3.8) т. e. E{t) имеет при t = to точку ветвления. При этом и а2 ~ ~ y/t — to, так что в точке t = to имеется всего одна собственная функция, совпадающая с (р±. Мы видим теперь, что поставленная задача формально пол- ностью аналогична рассмотренной в § 52 задаче о надбарьер- ном отражении. Мы имеем дело с «квазиклассической по вре- мени» волновой функцией Ф(?) (вместо квазиклассической по координате функции в §52), и требуется определить член вида c2ip2exp(—iE2t/H) в волновой функции при t —>- +ос, если при t —>> —ос волновая функция Ф(?) = ф\ ехр(—iEit/K) (аналогич- но задаче об определении отраженной волны при х —>> —ос по прошедшей волне при х —>- +ос); искомая вероятность перехода ^21 = \с2\2. При этом действие S = — f E(t) dt выражается ин- тегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвле- ния функция р{х) в интеграле Jpdx). Поэтому рассматрива- емая задача решается путем обхода в плоскости комплексного переменного t (от больших отрицательных к большим положи- тельным значениям), полностью аналогично тому, как это было сделано в § 52 в плоскости переменного ж, и мы не будем повто- рять здесь соответствующих рассуждений. Будем считать, что на вещественной оси Е2 > Е\\ тогда обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплекс- § 53 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ 247 ного t (при смещении в которую отношение e-lE<2t/fi^e-Eit/fi растет). В результате получим формулу (аналогичную форму- ле E2.2)) W2i = ехр [ | Im Г E{t) dt ], E3.9) \ с, / где интегрирование производится по изображенному на рис. 19 контуру, но в направлении слева направо. На левой ветви этого контура Е = Е\, а на правой Е = Е2. Поэтому молено переписать E3.9) в виде w2i=exp -2Im u2i(t)dt), E3.10) где CJ21 = (Е2 — Ei)/H] t — любая точка на вещественной оси ?, а в качестве to должен быть взят тот из находящихся в верхней по- луплоскости корней уравнения E3.1), для которого показатель экспоненты в E3.10) имеет наименьшее по абсолютной величине значение1). Кроме того, с прямым переходом из состояния 1 в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» че- рез различные промежуточные состояния, вероятности которых выражаются аналогичными формулами. Так, для перехода по «пути» I—>>3—>*2 интеграл в E3.10) заменяется суммой интегра- лов C1) B3) w3i(i)<ft+ Г Lo23{t)dt, в верхних пределах которых стоят «точки пересечения» соот- ветственно термов E\{t), Es(t) и i^W? E^{t); этот результат получается путем обхода по контуру, охватывающему обе эти комплексные точки2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переходы под влиянием адиабатических возмущений» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
