Одним из важнейших применений теории возмущений явля- ется вычисление вероятности перехода в непрерывном спектре под влиянием постоянного (не зависящего от времени) возмуще- ния. Мы уже упоминали, что состояния непрерывного спектра практически всегда вырождены. Выбрав определенным образом совокупность невозмущенных волновых функций, соответству- ющих некоторому данному уровню энергии, мы можем поста- вить задачу следующим образом: известно, что в начальный мо- мент времени система находилась в одном из этих состояний; требуется определить вероятность перехода в другое состояние той же энергии. Для переходов из начального состояния i в со- стояния в интервале между Vf и Vf + dvf имеем непосредственно из D2.5) (полагая ш = 0 и меняя обозначения) dwfi = ^-\Vfi\2S(Ef - Ei)dvf. D3.1) Это выражение, как и следовало, отлично от нуля лишь при Ef = Ef. под влиянием постоянного возмущения переходы про- исходят лишь между состояниями с одинаковой энергией. Необ- ходимо отметить, что для переходов из состояний непрерыв- ного спектра величина dwfi не может рассматриваться непо- средственно как вероятность перехода; она даже не обладает соответствующей размерностью A/с). Выражение D3.1) изоб- ражает число переходов в единицу времени, причем его раз- мерность зависит от выбранного способа нормировки волновых функций непрерывного спектраг). Вычислим возмущенную волновую функцию, которая до на- чала действия возмущения совпадает с исходной невозмущенной ) К категории явлений, охватываемых излагаемой теорией, относятся, на- пример, различные столкновения; при этом система в начальном и конечном состояниях представляет собой совокупность свободных частиц, а роль воз- мущения играет взаимодействие между ними. При надлежащей нормиров- ке волновых функций величина D3.1) может оказаться при этом сечением столкновений (см. §126). §43 ПЕРЕХОДЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 197 функцией ?/к . Следуя указанному в конце предыдущего пара- графа способу, будем рассматривать возмущение как включа- емое адиабатически по закону eXt с Л —>> 0. Согласно форму- ле D2.7) (в которой полагаем ио = 0 и меняем обозначения) име- ем /fi . D3.2) J TP TP \ A\ ^ ' Возмущенная волновая функция имеет вид где интегрирование производится по всему непрерывному спек- тру1) . Подставив сюда D3.2), находим НЧ D3.3) В пределе Л —>> 0 множитель eXt заменен единицей. Член же +г0 (означающий предел г\ при стремлении к нулю положи- тельной величины Л) определяет способ интегрирования по пере- менной Ef, дифференциал которой входит как множитель в dvf (наряду с дифференциалами других величин, характеризующих состояния непрерывного спектра). Без члена г\ подынтеграль- ное выражение в D3.3) имело бы полюс при Ef = E{, вблизи которого интеграл расходился бы. Член гХ смещает этот полюс в верхнюю полуплоскость комплексного переменного Ef. После перехода к пределу Л —>> 0 полюс снова возвращается на ве- щественную ось, но мы знаем теперь, что путь интегрирования должен обходить полюс снизу: щ D3.4) Временной множитель в D3.3) показывает, что эта функция относится, как и следовало, к той же энергии Е{, что и начальная невозмущенная функция. Другими словами, функция г) Если имеется также и дискретный спектр, то в этой и следующих фор- мулах к интегралу надо добавить соответствующую сумму по состояниям дискретного спектра. 198 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI удовлетворяет уравнению Шредингера (Н0 + У)Фг = ЕЖ. В связи с этим естественно, что это выражение в точности со- ответствует формуле C8.8I). Произведенные выше вычисления соответствуют первому приближению теории возмущений. Нетрудно вычислить и вто- рое приближение. Для этого надо вывести формулу следующего приближения для Ф^ что легко сделать, воспользовавшись мето- дом § 38 (зная теперь способ, которым должны браться «расхо- дящиеся» интегралы). Простое вычисление приводит к формуле Ei-Ef+iO Сравнивая это выражение с формулой D3.3), мы можем написать соответствующую формулу для вероятности (точнее, для числа переходов) непосредственно по аналогии с D3.1): А 27Г awfi = — J н + I аи J Ei-Ev + гО S(Ei-Ef)duf. D3.6) Может оказаться, что матричный элемент Vfi для рассмат- риваемого перехода обращается в нуль. Тогда эффект первого приближения вообще отсутствует и выражение D3.6) сводится к 2тг VfuVui Ei-Eu du S(Ef-Ei)dvf, D3.7) при применениях этой формулы точка Ev = E{ не является обычно полюсом подынтегрального выражения; тогда способ интегрирования по dEv вообще не существен и его можно про- изводить непосредственно вдоль вещественной оси. О состояниях z/, для которых Vjv и Vv{ отличны от нуля, часто говорят, как о промежуточных для перехода г —>> /'. Наглядно можно сказать, что этот переход осуществляется как бы в два этапа: i —>- и и и —>- / (разумеется, однако, такому описанию не следует придавать буквального смысла). Может оказаться, что переход г —>• / возмож:ен не через одно, а лишь через несколь- ко последовательных промежуточных состояний. Формула D3.7) х) Способ взятия интеграла в D3.5) молено установить, исходя из требо- вания, чтобы асимптотическое выражение для фг на больших расстояниях содержало лишь расходящуюся, но не сходящуюся волну (см. § 136). §44 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ 199 непосредственно обобщается на такие случаи. Так, если необхо- димы два промежуточных состояния, то 2тг П Г J dud,' 5{Ef-Ei)dvf. D3.8) гп \ ( тр гр \ — tLivi )yilii — -tL/u) Наконец, для уяснения математического смысла интегралов, взятых по пути вида D3.4), укажем формулу J \Х j CLX h J \Х j CLX . п / \ //to c\\ х — a — lOJx — a где интегрирование производится по отрезку вещественной оси, включающему в себя точку х = а. Действительно, производя об- ход полюса х = а по полуокружности (радиуса р), найдем, что весь интеграл равен сумме интегралов по вещественной оси от нижнего предела до а — р и от а + р до верхнего предела и (умно- женного на in) вычета подынтегрального выражения в полюсе. В пределе р —>- 0 интегралы по вещественной оси складывают- ся в интеграл по всему отрезку, понимаемый в смысле главного значения (что и отмечено перечеркнутым знаком интегрирова- ния), и мы приходим к D3.9). Эту формулу записывают также и в символическом виде = Р-^— + т8(х - а); D3.10) х — а — гО х — а символ Р означает, что при интегрировании функции f(x)/{x — а) должно быть взято главное значение интеграла.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переходы в непрерывном спектре» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
