Рассмотрим распространение сферической ударной волны большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва, т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме боль- шого количества энергии (которую обозначим буквой Е)\ газ, в котором волна распространяется, будем считать политропным х) . Мы будем рассматривать волну на расстояниях, не слишком далеких от источника, в той области, где волна обладает еще большой интенсивностью. В то же время эти расстояния пред- полагаются большими по сравнению с размерами источника: это дает возможность считать, что выделение энергии Е произошло в одной точке (в начале координат). Большая интенсивность ударной волны означает, что скачок давления в ней очень велик. Мы будем считать, что давление р2 позади разрыва настолько велико по сравнению с давлением р\ невозмущенного газа впереди него, что El > 7 + 1 Pi 7 - 1' Это дает возможность везде пренебрегать р\ по сравнению с р2, причем отношение плотностей P2I pi будет равно своему предель- ному значению G + 1)/(т ~~ 1) (см- § 89). Таким образом, вся картина движения газа будет определять- ся всего двумя параметрами: начальной плотностью газа р\ и вы- Излагаемое ниже решение этой задачи получено независимо Л. И. Седо- вым A946) и Нейманом (J. von Neumann, 1947). С меньшей полнотой (без построения аналитического решения уравнений) задача была рассмотрена Тейлором (G.I. Taylor, 1941, опубликовано в 1950). § 106 ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 557 деляющейся при взрыве энергией Е. Из этих параметров и двух независимых переменных — времени t и координаты (расстояния от центра) г — можно составить всего одну независимую безраз- мерную комбинацию, которую мы напишем в виде В результате все движение будет обладать определенной авто- мод ельностью . Прежде всего можно утверждать, что положение самой удар- ной волны в каждый момент времени должно соответствовать определенному постоянному значению указанной безразмерной комбинации. Тем самым сразу определяется закон перемещения ударной волны со временем; обозначив расстояние волны от цен- тра буквой i?, имеем ^2х 1/5 pi ' где /3 — числовая постоянная (зависящая от 7) ? которая сама определится в результате решения уравнений движения. Ско- рость распространения ударной волны (скорость относительно невозмущенного газа, т. е. относительно неподвижной системы координат): dR 2R 2/ЗЕ1/5 ппао\ ил = — = — = —1 ,, Q/к. (lUo.z) А+ ^\+ с 1/5,о/о v ' 111 OL Э/З1 t Таким образом, в рассматриваемой задаче закон движения удар- ной волны определяется (с точностью до постоянного множите- ля) уже из простых соображений размерности. Давление ]92, плотность р2 и скорость V2 = U2 — щ газа (отно- сительно неподвижной системы координат) на «задней» стороне разрыва могут быть выражены через щ по полученным в § 89 формулам. Согласно (89.10), (89.11) имеем v2 = —— иъ /92 = pi1^-, P2 = ——pint. A06.3) 7 + 1 7 ~ 1 7 + 1 Плотность остается постоянной во времени, a V2 и р2 убывают соответственно как ?~3/5 и t~6/5. Отметим также, что создава- емое ударной волной давление р2 растет с увеличением полной энергии взрыва как Перейдем, далее, к определению движения газа во всей обла- сти за ударной волной. Введем вместо скорости г>, плотности р ) Определяемые формулами (89.11) скорости ударной волны относитель- но газа мы обозначаем здесь как и\ и U2. 558 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X газа и квадрата с2 = jp/p скорости звука в нем (который заме- нит собой переменную р — давление) безразмерные переменные V, G, Z, определив их следующими соотношениями : V = —V. О = рлЬг, С = Z. (ЮО.4) Ы "г"9 Величины V, Gr, Z могут быть функциями только одной без- размерной независимой «автомодельной» переменной, которую определим как В соответствии с A06.3), на поверхности разрыва (т. е. при ? = 1) они должны принимать значения №*) A06.6) G(l) |, Z(l) . 7 + 1 7-1 G + 1J Уравнения центрально-симметричного адиабатического движе- ния газа гласят: dv+ydv = _1др dp | d(pv) | 2pv _ Q^ ^t <9r pdr dt dr r ' A06 7^ dt дг) р^ Последнее уравнение есть уравнение сохранения энтропии, в ко- торое подставлено выражение (83.12) для энтропии политроп- ного газа. После подстановки выражений A06.4) получается си- стема уравнений в полных производных для функций V, G, Z. Интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее интегралов может быть написан непосредственно из следующих соображений. Тот факт, что мы пренебрегаем давлением р\ невозмущенного газа, означает, другими словами, что мы пренебрегаем первона- чальной энергией газа по сравнению с энергией Е, приобретае- мой им в результате взрыва. Поэтому ясно, что полная энергия газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна (и равна Е). Более того, ввиду автомодельности движения очевид- но, что должна оставаться неизменной энергия газа и внутри любой сферы меньшего радиуса, расширяющейся со временем по закону ? = const с любым (а не только равным 1) значени- ем const; радиальная скорость перемещения точек этой сферы равна vn = 2г/(Ы) (ср. A06.2)). ) Не смешивать обозначение V в этом и следующем параграфах с обозна- чением удельного объема в других местах! § 106 ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 559 Легко написать уравнение, выражающее это постоянство энергии. С одной стороны, в течение времени dt через поверх- ность сферы (площади 4тгг2) уходит энергия dt • 4:тгг2ру ( w + — ). V 2 / С другой стороны, за это же время объем сферы увеличивается на элемент dt • 4тгг2/г;п, внутри которого заключен газ с энергией — V Приравняв эти два выражения друг другу, подставив е и w из (83.10), (83.11) и введя безразмерные функции согласно A06.4), получим соотношение (DAV)V2 A06<8) 1) ' V J которое и является искомым интегралом системы уравнений, ав- томатически удовлетворящим граничным условиям A06.6). После установления интеграла A06.8) интегрирование систе- мы уравнений элементарно, хотя и громоздко. Второе и третье из уравнений A06.7) дают dV A — G — 1) w 7 Из этих двух уравнений с помощью соотношения A06.8) выра- жаем производные dV/dln^ и dlnG/dV в виде функций только от V, после чего интегрирование с учетом граничных условий A06.6) приводит к следующим результатам: -2 x [^A-F)]'6, A06.10) - 1372 -77 + 12 „. _ 5G-1) __ 3 2-7' ^ 2-7 560 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Формулы A06.8), A06.10) дают полное решение поставлен- ной задачи. Постоянная /3, входящая в определение независимой переменной ?, определяется условием R E= f p[v- 7G-1)' • 4тгг2 выражающим равенство полной энергии газа энергии взрыва Е. После введения безразмерных величин это условие принимает вид 25 И J I 2 7G-1)- Так, для воздуха G = 7/5) оказывается /3 = 1,033. Из формул A06.10) легко видеть, что при A06.11) 0 функ- 0,5 ция V стремится к постоянному пределу, а функция G — к нулю по законам 1 0| 1 1 Iе)/ ^ / 7 Отсюда следует, что отношения v/v2 и р/р2 как функции отношения r/R = ? стремятся при ^чОк нулю по законам г>/г>2 ос r/R, p/p2 ос (r/i?K^7); A06.12) отношение же давлений рД?2 стремится к Рис. 94 постоянному пределу, а отношение темпе- ратур— соответственно к бесконечности . На рис. 94 изображены графически величины v/v2l p/p2 и р/р2 как функции r/R для воздуха G = 1,4). Обращает на се- бя внимание очень быстрое убывание плотности по направлению внутрь сферы: почти все вещество сконцентрировано в сравни- тельно узком слое позади фронта ударной волны.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Задача о сильном взрыве» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Излагаемое ниже решение этой задачи получено независимо Л. И. Седо- 