Рассмотрим распространение ударной волны по среде, запол- няющей длинную трубку с переменным сечением. Наша цель со- стоит при этом в выяснении влияния, оказываемого изменением площади ударной волны на ее скорость (G.B. Whitham, 1958). Будем считать, что площадь S(x) сечения трубки лишь мед- ленно меняется вдоль ее длины (ось х) — мало на расстояниях порядка ширины трубки. Это дает возможность применить при- ближение (его называют гидравлическим), которое уже было ис- пользовано в § 77: можно считать все величины в потоке постоян- ными вдоль каждого поперечного сечения трубки, а скорость — направленной вдоль ее оси; другими словами, течение рассматри- вается как квазиодномерное. Такое течение описывается уравне- ниями ^+^^ + 1ЁЕ = о, (91.1) dt дх р дх ^с(|+^H, (91.2) дх \dt дх/ S^ + ^-(pvS)=0. (91.3) at ox Первое из них — уравнение Эйлера, второе — уравнение адиаба- тичности, а третье — уравнение непрерывности, представленное в виде G7.1). Для выяснения интересующего нас вопроса достаточно рас- смотреть трубку, в которой изменение площади S(x) не только медленно, но и по абсолютной величине остается относительно малым на протяжении всей длины. Тогда будут малы и связан- ные с непостоянством сечения возмущения потока, и уравнения (91.1)—(91.3) могут быть линеаризованы. Наконец, должны быть поставлены начальные условия, исключающие появление каких- 480 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX либо посторонних возмущений, которые могли бы повлиять на движение ударной волны; нас интересуют только возмущения, связанные с изменением S(x). Эта цель будет достигнута, если принять, что ударная волна первоначально движется с постоян- ной скоростью по трубе постоянного сечения, и площадь сечения начинает меняться только вправо от некоторой точки (которую примем за х = 0). Линеаризованные уравнения (91.1)—(91.3) имеют вид dSv . dSv . 1 дёр п at ox р ох ддр_л dt ddp dt ddp - v—- - dx + v^p dx 2 (ddp V dt ddv dx , odp\ + v—- = dx) pv dSS _ { S dx ~ где буквы без индекса обозначают постоянные значения вели- чин в однородном потоке в однородной части трубки, а символ 6 обозначает изменение этих величин в трубке переменного сече- ния. Умножив первое и третье из этих уравнений соответственно на рс и с2 и сложив затем все три уравнения, напишем следую- щую их комбинацию: Общее решение этого уравнения дается суммой общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Первое есть F(x — vt — ct), где F — произвольная функ- ция; оно описывает звуковые возмущения, приходящие слева. Но в однородной области, при х < 0, возмущений нет; поэтому надо положить F = 0. Таким образом, решение сводится к интегралу неоднородного уравнения: 6p + pc6v = -^^. (91.5) Г v+c S V У Ударная волна движется слева направо со скоростью v\ > с\ по неподвижной среде с заданными значениями р\, р\. Движение же среды позади ударной волны (среда 2) определяется решени- ем (91.5) во всей области трубки слева от точки, достигнутой раз- рывом к данному моменту времени. После прохождения волны все величины в каждом сечении трубки остаются постоянными во времени, т. е. равными тем значениям, которые они получили в момент прохождения разрыва: давление ]92, плотность р2 и ско- рость v\ — V2 (в соответствии с принятыми в этой главе обозна- чениями, V2 обозначает скорость газа относительно движущейся ударной волны; скорость же его относительно стенок трубки есть тогда v\—V2)- В этих обозначениях (и снова выделив переменные § 92 РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПО ТРУБЕ 481 части этих величин) равенство (91.5) запишем в виде SS V V + c2 + {5vi _ V)c\ S Все величины 5v\, Sv2, Sp2 можно выразить через одну из них, например, 5v\. Для этого запишем варьированные соотношения (85.1), (85.2) на разрыве (при заданных р\ и р\)\ p\Svi = V2$p2 + P2SV2, 2j(Svi — 6V2) = Sp2 + v%Sp2 (где j = pivi = P2V2 — невозмущенное значение потока); к ним надо еще присоединить соотношение SP2 = ^ а где производная берется вдоль адиабаты Гюгонио. Вычисление приводит к следующему окончательному соотношению, связы- вающему изменение 8v\ скорости ударной волны относительно неподвижного газа перед ней, с изменением SS площади сечения трубки: _}_SS_ _ VI - V2 + С2 Г1 + 2У2/С2 - tl~\ /Q-. ^ч SSvi ~ vic2 I l + h У У ' ) где снова введено обозначение Н = -?*»=?™ (91.8) р| dp2 dp2 Коэффициент при квадратной скобке в (91.7) положителен. Поэтому знак отношения Svi/SS определяется знаком выраже- ния в этой скобке. Для всех устойчивых ударных волн этот знак положителен, так что Svi/SS < 0. Но при выполнении какого-либо из условий (90.12), (90.13) гофрировочной неустойчивости выражение в скобках становится отри- цательным, так что Svi/SS > 0. Этот результат дает возможность наглядного истол- кования происхождения неустойчивости. На рис. 62 изо- бражена «гофрированная» поверхность ударной волны, перемещающаяся направо; стрелками схематически по- казано направление линий тока. При перемещении удар- ной волны на выдавшихся вперед участках поверхности площадь 6S растет, а на отставших участках — умень- Рис б2 шается. При Svi/SS < 0 это приводит к замедлению выступивших участков и ускорению отставших, так что поверх- ность стремится сгладиться.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение ударной волны по трубе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
