Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Эволюционность ударных волн

Вывод неравенств (87.1)-(87.4) в § 86, 87 был связан с опре-
деленным предположением о термодинамических свойствах сре-
ды—с положительностью производной (d2V/dp2)s. Весьма су-
щественно, однако, что неравенства
Vi > C\ V2 < С2 (88.1)
для скоростей могут быть получены также и из совершенно иных
соображений, показывающих, что ударные волны с нарушенны-
ми условиями (88.1) все равно не могли бы существовать, даже
если бы это не противоречило изложенным выше чисто термо-
динамическим соображениям х) .
Именно необходимо исследовать еще вопрос об устойчиво-
сти ударных волн. Наиболее общее необходимое условие устой-
чивости состоит в требовании, чтобы любое бесконечно малое
возмущение начального (в некоторый момент t = 0) состояния
приводило бы лишь к вполне определенным бесконечно малым
же изменениям течения,—по крайней мере в течение достаточ-
но малого промежутка времени t. Последняя оговорка означает
недостаточность указанного условия; так, если начальное малое
возмущение возрастает даже экспоненциально (как e7t с поло-
жительной постоянной 7), то в течение времени t < I/7 возму-
щение остается малым, хотя в конце концов оно и приводит к
разрушению данного режима движения. Возмущением, не удов-
летворяющим поставленному необходимому условию, является
расщепление ударной волны на два (или более) последователь-
ных разрыва; очевидно, что изменение движения при этом сразу
же оказывается не малым, хотя при малых t (когда оба разрыва
не разошлись еще на большое расстояние) оно и занимает лишь
небольшой интервал расстояний 5х.
х) Напомним в то же время, что (по крайней мере для ударных волн слабой
интенсивности) эти термодинамические соображения приводят к условиям
(88.1) также и при (d2V/dp2)s < 0, когда ударная волна является волной
разрежения (а не сжатия); это обстоятельство было отмечено в конце § 86.
466 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX
Произвольное начальное малое возмущение определяется не-
которым числом независимых параметров. Дальнейшая же эво-
люция возмущения определяется системой линеаризованных гра-
ничных условий, которые должны удовлетворяться на поверх-
ности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устой-
чивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает
с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда
граничные условия определяют дальнейшее развитие возмуще-
ния, которое при малых t > 0 останется малым. Если же число
уравнений больше или меньше числа независимых параметров,
то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или име-
ет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы
о неправомерности исходного предположения (малость возмуще-
ния при малых t) и, таким образом, противоречили бы постав-
ленному требованию. Сформулированное таким образом условие
называют условием эволюционности течения.
Рассмотрим возмущение ударной волны, представляющее со-
бой ее бесконечно малое смещение в направлении, перпендику-
лярном ее плоскости х) . Оно сопровождается бесконечно малым
возмущением также и других величин —давления, скорости и
т. д. газа по обеим сторонам поверхности разрыва. Эти возмуще-
ния, возникнув вблизи волны, будут затем распространяться от
нее, переносясь (относительно газа) со скоростью звука; это не
относится лишь к возмущению энтропии, которое будет перено-
ситься только с самим газом. Таким образом, произвольное воз-
мущение данного типа можно рассматривать как совокупность
звуковых возмущений, распространяющихся в газах 1 и 2 по обе
стороны ударной волны, и возмущения энтропии; последнее, пе-
ремещаясь вместе с газом, будет, очевидно, существовать лишь
в газе 2 позади ударной волны. В каждом из звуковых возмуще-
ний изменения всех величин связаны друг с другом определен-
ными соотношениями, следующими из уравнений движения (как
в любой звуковой волне; § 64); поэтому каждое такое возмущение
определяется всего лишь одним параметром.
Подсчитаем теперь число возможных звуковых возмущений.
Оно зависит от относительной величины скоростей газа v\, г>2 и
скоростей звука ci, C2- Выберем направление движения газа (со
стороны 1 на сторону 2) в качестве положительного направления
оси х. Скорость распространения возмущения в газе 1 относи-
тельно неподвижной ударной волны есть и\ = v\ =Ь ci, а в газе 2
и2 — V2 =Ь С2. Тот факт, что эти возмущения должны распростра-
няться по направлению от ударной волны, означает, что должно
быТЬ U\ < О, U2 > 0.
х) Излагаемое ниже обоснование неравенств (88.1) принадлежит
Л.Д. Ландау A944).
§ 88 ЭВОЛЮЦИОННОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН 467
Предположим, что v\ > c\, V2 < С2. Тогда ясно, что оба зна-
чения и\ = v\ ± с\ будут положительными, а из двух значений
U2 будут положительными лишь V2 + С2-
Это значит, что в газе 1 вообще не сможет ui>ci v2<c2 vi<ci v2<c2
быть интересующих нас звуковых возму-
щений, а в газе 2 — всего одно, распро-
страняющееся относительно самого газа (з)
со скоростью +С2- Аналогичным образом
производится подсчет в других случаях
©
V2>C2
®
V2>C2
Результат изображен на рис. 57, где
каждая стрелка соответствует одному
звуковому возмущению, распространяю-
щемуся относительно газа в указываемую
стрелкой сторону. Каждое же звуковое
возмущение определяется, как было вы- рис. 57
ше указано, одним параметром. Кроме
того, во всех четырех случаях имеется еще по два параметра:
параметр, определяющий распространяющееся в газе 2 возмуще-
ние энтропии, и параметр, определяющий самое смещение удар-
ной волны.
Для каждого из четырех случаев на рис. 57 цифрой в кружке
указано получающееся таким образом полное число параметров,
определяющих произвольное возмущение, возникающее при сме-
щении ударной волны.
С другой стороны, число необходимых граничных условий,
которым должно удовлетворять возмущение на поверхности раз-
рыва, равно трем (условия непрерывности потоков массы, энер-
гии и импульса). Во всех изображенных на рис. 57 случаях, за ис-
ключением лишь первого, число имеющихся независимых пара-
метров превышает число уравнений. Мы видим, что эволюцион-
ны лишь ударные волны, удовлетворяющие условиям (88.1). Эти
условия, таким образом, необходимы для существования удар-
ных волн, вне зависимости от термодинамических свойств сре-
ды. Искусственно созданный разрыв, не удовлетворяющий этим
условиям, немедленно распался бы на другие разрывы

.
Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рас-
смотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова.
Если искать смещение ударной волны (ас ним и возмущения всех
остальных величин) в виде, пропорциональном e~iujt, то заранее
очевидно, что однозначно определяемое граничными условиями
) Во всех перечисленных на рис. 57 неэволюционных случаях возмущение
недоопределено — число произвольных параметров превышает число урав-
нений. Упомянем, что в магнитной гидродинамике ударные волны могут
быть неэволюционными в силу как недоопределенности, так и переопреде-
ленности возмущений (см. VIII, § 73).
468 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX
значение ио может быть только нулем —уже хотя бы из тех со-
ображений, что в задаче нет никаких параметров размерности
обратного времени, которые могли бы определить отличное от
нуля значение ио.
Мы вернемся к вопросу об устойчивости ударных волн в § 90.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эволюционность ударных волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»