Рассмотрим плоско-параллельный турбулентный поток жид- кости, текущий вдоль неограниченной плоской поверхности (ког- да мы говорим о плоско-параллельности турбулентного потока, то подразумевается, конечно, усредненное по времени движение ) По отношению к резонансным частицам движение в волне стационарно; поэтому обмен энергией между ними и волной не обращается в нуль при усреднении по времени (как это имеет место для других частиц, по отноше- нию к которым движение в волне осциллирует). Отметим также, что ука- занное направление обмена энергией отвечает стремлению к уменьшению градиента скорости течения, и в этом смысле отвечает учету сколь угодно малой вязкости. 244 пограничный слой гл. iv в нем) . Выберем направление потока в качестве оси ж, плос- кость стенки — в качестве плоскости xz, так что у есть расстояние от стенки. Компоненты средней скорости вдоль осей у vl z равны нулю: их = и, иу = uz = 0. Перепад давления отсутствует; все величины зависят только от у. Обозначим буквой а силу трения, действующую на едини- цу поверхности стенки (и направленную, очевидно, по оси х). Величина а представляет собой не что иное, как импульс, пере- даваемый жидкостью твердой стенке; она является в то же вре- мя тем постоянным потоком импульса (точнее ж-компоненты им- пульса), который направлен в отрицательном направлении оси у, и определяет количество импульса, непрерывно передаваемого от более удаленных от стенки слоев жидкости к менее удаленным. Наличие этого потока импульса связано, конечно, с наличи- ем вдоль оси у градиента средней скорости и. Если бы жидкость двигалась везде с одинаковой скоростью, то никакого потока им- пульса в ней не было бы. Можно поставить вопрос и обратным образом: зададимся некоторым определенным значением а и вы- ясним, каково должно быть движение в жидкости данной плот- ности р, приводящее к потоку импульса а. Имея в виду получить асимптотические законы, относящиеся к очень большим числам Рейнольдса, снова исходим из предположения, что в этих зако- нах не должна фигурировать в явном виде вязкость жидкости v (она становится, однако, существенной на очень малых расстоя- ниях у — см. ниже). Таким образом, значение градиента скорости dujdy на каж- дом расстоянии от стенки должно определяться постоянными параметрами р, а и, разумеется, самим расстоянием у. Един- ственной комбинацией требуемой размерности, которую можно составить из /э, а и у, является (сг/р) 1/2/у. Поэтому должно быть du = «^ D2Л) dy ку где введена удобная для дальнейшего величина г>* (с размерно- стью скорости) согласно определению а = pvl D2.2) а ус — числовая постоянная (постоянная Кармана). Значение х не может быть вычислено теоретически и должно быть опреде- лено из эксперимента. Оно оказывается равным 2) х = 0,4. D2.3) Излагаемые в § 42-44 результаты принадлежат Т. Карману A930) и Л. Прандтлю A932). ) Это значение (и значение еще одной постоянной в формуле D2.8) —см. ниже) получено из результатов измерений профиля скорости вблизи стенок труб и прямоугольных каналов и в пограничном слое на плоских стенках. § 42 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ 245 Интегрируя соотношение D2.1), получим ^ с), D2.4) где с —постоянная интегрирования. Для определения этой по- стоянной нельзя воспользоваться обычными граничными услови- ями на поверхности стенки: при у = 0 первый член в D2.4) обра- щается в бесконечность. Причина этого заключается в том, что написанное выражение становится в действительности неприме- нимым на очень малых расстояниях от стенки, поскольку при очень малых у влияние вязкости делается существенным и им нельзя пренебрегать. Условия на бесконечности тоже отсутству- ют: при у = оо выражение D2.4) тоже делается бесконечным. Это связано с тем, что в поставленных нами идеализированных условиях задачи фигурирует бесконечная поверхность стенки, влияние которой простирается поэтому и на бесконечно большие расстояния. Прежде чем определить постоянную с, укажем предваритель- но на следующую существенную особенность рассматриваемого движения: оно не имеет никаких характерных постоянных па- раметров длины, которые могли бы определить масштаб тур- булентного движения, как это имеет место в обычных случаях. Поэтому основной масштаб турбулентности определяется самим расстоянием у: турбулентное движение на расстоянии у от стен- ки имеет основной масштаб порядка величины у. Что же каса- ется пульсационной скорости турбулентного движения, то она порядка величины г>*. Это тоже следует непосредственно из со- ображений размерности, поскольку г>* — единственная величина с размерностью скорости, которую можно составить из имею- щихся в нашем распоряжении величин <т, /э, у. Подчеркнем, что в то время как средняя скорость падает с уменьшением у, поря- док величины пульсационной скорости оказывается одинаковым на всех расстояниях от стенки. Этот результат находится в со- гласии с общим правилом, что порядок величины пульсационной скорости определяется изменением Аи средней скорости (§ 33). В рассматриваемом случае нет характерных длин /, на которых можно было бы брать изменение средней скорости; Аи должно быть теперь разумным образом определено, как изменение и при изменении расстояния у на величину порядка его самого. Но при таком изменении у скорость и меняется согласно D2.4) как раз на величину порядка г>*. На достаточно малых расстояниях от стенки начинает играть роль вязкость жидкости; обозначим порядок величины этих рас- стояний через уо. Определить уо можно следующим образом. Масштаб турбулентного движения на этих расстояниях — поряд- ка уо5 а скорость — порядка г>*. Поэтому число Рейнольдса, ха- рактеризующее движение на расстояниях ~уо> есть R / 246 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Вязкость начинает играть роль при R~ 1. Отсюда находим, что Уо~^М, D2.5) чем и определяется интересующее нас расстояние. На расстояниях у <^ у$ движение жидкости определяется обычным вязким трением. Распределение скоростей здесь может быть получено прямо из обычной формулы для вязкого трения: du о = pv—, dy откуда 2 и = —у = V-y. D2.6) pv v Таким образом, непосредственно к стенке прилегает тонкая про- слойка жидкости, в которой средняя скорость меняется по ли- нейному закону. Величина скорости во всей этой прослойке мала —она меняется от нуля на самой стенке до значений ~v* при у ~ уо- Эту прослойку называют вязким подслоем. Ника- кой сколько-нибудь резкой границы между вязким подслоем и остальным потоком, конечно, нет; в этом смысле понятие о вяз- ком подслое имеет лишь качественный характер. Подчеркнем, что и в нем движение жидкости турбулентно х) . В дальнейшем движением в вязком подслое мы не будем ин- тересоваться вовсе. Наличие его надо учесть только соответству- ющим выбором постоянной интегрирования в D2.4): она должна быть выбрана так, чтобы было u^v* на расстояниях у^уо. Для этого надо положить с = — In yo, так что Эта формула определяет (при ограниченных у) распределение скоростей в турбулентном потоке, текущем вдоль твердой стен- ки. Такое распределение называют логарифмическим профилем скоростей 2) . В формуле D2.7) под знаком логарифма должен был бы на самом деле стоять еще некоторый числовой коэффициент. В на- писанном виде она имеет, как говорят, лишь логарифмическую точность. Это значит, что аргумент логарифма предполагается настолько большим, что и сам логарифм велик. Введение неболь- х) В этом смысле все еще иногда применяемое название «ламинарного под- слоя» не адекватно. Сходство с ламинарным движением заключается только в том, что средняя скорость распределена по такому же закону, по которо- му была бы распределена истинная скорость при ламинарном движении в тех же условиях. Пульсационное движение в вязком подслое обнаружива- ет своеобразные особенности, не имеющие еще адекватной теоретической интерпретации. ) Изложенный простой вывод логарифмического профиля дан Л. Д. Лан- дау A944). §42 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ 247 шого численного коэффициента под знаком логарифма в D2.7) эквивалентно прибавлению к написанному выражению дополни- тельного члена вида const-?;*, где const — число порядка единицы; в логарифмическом приближении таким членом пренебрегается по сравнению с членом, содержащим большой логарифм. Факти- чески, однако, аргумент логарифма в рассматриваемых здесь и ниже формулах все же не очень велик, а потому и точность ло- гарифмического приближения не высока. Точность этих формул можно повысить, вводя эмпирический численный множитель в аргумент логарифма, или, что то же самое, прибавляя к лога- рифму эмпирическую постоянную. Так, более точная формула для профиля скоростей имеет вид и = v*[ 2,5 In -— = 2,5«„ In -. D2.8) Отметим, что обе формулы D2.6) и D2.8) имеют вид « = «*/(?), ? = У*Ф, D2.9) где /(?) — универсальная функция. Это — прямое следствие того, что ^ — единственная безразмерная комбинация, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении параметров р, a, v и переменной у. По этой причине такого рода зависимость должна иметь место на всех вообще рас- стояниях от стенки, в том числе в обла- сти, промежуточной между областями применимости формул D2.6) и D2.8). На 24; рис. 31 приведен график функции /(?) в 20- полулогарифмическом (десятичном) мае- 16 штабе. Сплошные линии 1 ж 2 отвечают соответственно формулам D2.6) и D2.8); штриховая кривая — эмпирическая зави- симость в промежуточной области (она простирается примерно от ? ~ 5 до ? ~ 30). Легко определить диссипацию энер- гии в рассматриваемом турбулентном по- токе. Величина а представляет собой среднее значение компоненты Пху тензора плотности потока им- пульса. Вне вязкого подслоя в Пху можно опустить член с вяз- костью, так что Пху = pvxvy. Введя пульсационную скорость v7 и помня, что средняя скорость направлена по оси ж, имеем vx = = u + v'x,vy = v'y. Тогда i) о- = p(vxvy) = p(vxv'y) + pu(v'y) = p(vxv'y). D2.10) 28 / I / f/ / у 10 102 103 Рис. 31 Тензор потока импульса, переносимого турбулентными пульсациями, называют тензором рейнолъдсовых напряжений; это понятие было введе- но Рейнольдсом (О. Reynolds, 1895). 248 пограничный слой гл. iv Далее, плотность потока энергии в направлении оси у равна (р + pv2/2)vy (здесь тоже опущен вязкий член). Написав v2 = = (и + v'xJ + v'y + v'2 и усреднив все выражение, получим 0Ч> + f «Ч + vv + < + <Ч> + р« W>- Здесь достаточно сохранить только последний член. Дело в том, что пульсационная скорость — порядка величины г;*, и потому (с логарифмической точностью) мала по сравнению с и. Что каса- ется давления, то его турбулентные пульсации р1 ~ pv2 и потому с той же точностью первый член в написанном выражении то- же может быть опущен. Таким образом, находим для средней плотности потока энергии: (q) = pu(v'xv'y) = ua. D2.11) По мере приближения к поверхности стенки этот поток умень- шается, что связано как раз с диссипацией энергии. Производная d(q)/dy дает диссипацию в единице объема жидкости, а разделив ее на р, получим диссипацию в единице массы: D2.12) >cy \pJ До сих пор мы предполагали, что поверхность стенки доста- точно гладкая. Если же поверхность шероховата, то выведенные формулы могут несколько измениться. В качестве меры шеро- ховатости стенки можно выбрать порядок величины выступов шероховатости, которые мы обозначим буквой d. Существенна сравнительная величина d и толщина подслоя уо- Если толщи- на уо велика по сравнению с d, то шероховатость вообще не су- щественна; это и подразумевается под достаточной гладкостью стенки. Если уо и d одного порядка величины, то никаких общих формул написать нельзя. В обратном же предельном случае сильной шероховатости уо) снова можно установить некоторые общие соотношения. Говорить о вязком подслое в этом случае, очевидно, нельзя. Во- круг выступов шероховатости будет происходить турбулентное движение, характеризующееся величинами /э, <т, d\ вязкость z^, как обычно, не должна входить явно. Скорость этого движения — порядка величины г>* — единственной имеющейся в нашем рас- поряжении величины с размерностью скорости. Таким образом, мы видим, что в потоке, текущем вдоль шероховатой поверхно- сти, скорость делается малой (~г>*) на расстояниях у ~ d вместо у ~ уо, как это было при течении вдоль гладкой поверхности. Отсюда ясно, что распределение скоростей будет определяться формулой, получающейся из D2.7) заменой vjv* на d, и = ^\Л. D2.13)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Логарифмический профиль скоростей» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Выберем направление потока в качестве оси ж, плос- 