Движение, возникающее в вязкой жидкости при колебаниях погруженных в нее твердых тел, обладает рядом характерных особенностей. Для изучения этих особенностей удобно начать с рассмотрения простого типичного примера {G.G. Stokes, 1851). Пусть несжимаемая жидкость соприкасается с неограниченной плоской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) про- стое гармоническое колебательное движение с частотой ио. Тре- буется определить возникающее при этом в жидкости движение. г) В действительности, однако, движение в достаточно сильной струе ста- новится турбулентным (§ 36). Отметим, что роль числа Рейнольдса для рас- смотренной струи играет безразмерный параметр (Р/(ри2)I'2. 2) См. Румер Ю.Б. I) Прикл. мат. и мех. 1952. Т. 16. С. 255. Затопленная ламинарная струя с отличным от нуля моментом враще- ния вокруг оси рассмотрена Лойцянским Л.Г. // Прикл. мат. и мех. 1953. Т. 17. С. 3. Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкой жид- кости для любого стационарного осесимметричного движения, в котором скорость убывает с расстоянием как 1/г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго поряд- ка. См.: Слезкин Н.А. // Уч. зап. МГУ. 1934. Вып. II; Прикл. мат. и мех. 1954. Т. 18. С. 764. 122 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Твердую поверхность выберем в качестве плоскости уz\ области жидкости соответствуют х > 0. Ось у выберем вдоль направле- ния колебаний поверхности. Скорость и колеблющейся поверх- ности есть функция времени вида Acos(uit + а). Удобно писать такую функцию в виде вещественной части от комплексного вы- ражения: и = Re {ще~1и1} (с комплексной, вообще говоря, посто- янной 1/о = Ае~га] надлежащим выбором начала отсчета времени эту постоянную всегда можно сделать вещественной). До тех пор, пока при вычислениях производятся только ли- нейные операции над скоростью и, можно опускать знак взятия вещественной части и вычислять так, как если бы и было ком- плексным, после чего можно взять вещественную часть от окон- чательного результата. Таким образом, будем писать: Uy = u = uoe-iujt. B4.1) Скорость жидкости должна удовлетворять граничному условию v = и, т. е. vx=vz = 0, vy = u при х = 0. Из соображений симметрии очевидно, что все величины бу- дут зависеть только от координаты х (и от времени ?). Из урав- нения непрерывности div v = 0 имеем поэтому 7Г = 0' ОХ откуда vx = const, причем согласно граничным условиям эта постоянная должна быть равной нулю, т. е. vx = 0. Поскольку все величины не зависят от координат у, z, и благодаря равенству vx нулю имеем тождественно (vV)v = 0. Уравнение движения A5.7) приобретает вид |^ gp B4.2) Это уравнение линейно. Его ж-компонента дает др/дх = 0, т. е. р = const. Из симметрии очевидно также, что скорость v направлена везде по оси у. Для vy = v имеем уравнение at ox2 (типа одномерного уравнения теплопроводности). Будем искать периодическое по х и t решение вида v = ще«кх-иЛ\ удовлетворяющее условию v = и при х = 0. Подстановка в урав- нение дает ±±i J B4.4) § 24 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 123 так что скорость v = ще~х/6е^х/6~ш1) B4.5) (выбор знака корня \Г% в B4.4) определяется требованием зату- хания скорости в глубь жидкости). Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать по- перечные волны: скорость vy = v перпендикулярна направлению распространения волны. Они, однако, быстро затухают по мере удаления от создающей их колеблющейся твердой поверхности. Затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону с глубиной проникновения 6 х) . Эта глубина падает с увеличени- ем частоты волны и растет с увеличением вязкости жидкости. Действующая на твердую поверхность сила трения направ- лена, очевидно, по оси у. Отнесенная к единице площади, она равна а*у = *>-? Предполагая щ вещественным и отделив в B4.6) вещественную часть, получим <*ху — —y/copTjUQ COS (wt - J. Скорость же колеблющейся поверхности есть и = щ cos uot. Та- ким образом, между скоростью и силой трения имеется сдвиг фаз 2). Легко вычислить также и среднее (по времени) значение дис- сипации энергии при рассматриваемом движении. Это можно сделать по общей формуле A6.3); в данном случае, однако, про- ще вычислить искомую диссипацию непосредственно как рабо- ту сил трения. Именно, диссипация энергии в единицу времени, отнесенная к единице площади колеблющейся плоскости, равна среднему значению произведения силы аху на скорость иу = и: B4.7) :)Ha расстоянии 6 амплитуда волны убывает в е раз, а на протяжении одного пространственного периода волны — в е27Г и 540 раз. 2) При колебаниях полуплоскости (параллельно линии своего края) возни- кает дополнительная сила трения, связанная с краевыми эффектами. Зада- ча о движении вязкой жидкости при колебаниях полуплоскости (а также и более общая задача о колебаниях клина с произвольным углом раство- ра) может быть решена с помощью класса решений уравнения А/ + к2/ = = 0, используемого в теории дифракции от клина. Мы отметим здесь лишь следующий результат: возникающее от краевого эффекта увеличение силы трения на полуплоскость может быть описано как результат увеличения площади при смещении края полуплоскости на расстояние 8/2 с 6 из B4.4) (Л.Д. Ландау, 1947). 124 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Она пропорциональна корню из частоты колебаний и из вязкости жидкости. Может быть решена в замкнутом виде также и общая зада- ча о жидкости, приводимой в движении плоской поверхностью, движущейся (в своей плоскости) по произвольному закону и = = u(t). Мы не станем производить здесь соответствующие вы- числения, так как искомое решение уравнения B4.3) формально совпадает с решением аналогичной задачи теории теплопровод- ности, которая будет рассмотрена в § 52 (и дается формулой E2.15)). В частности, испытываемая твердой поверхностью сила трения (отнесенная к единице площади) определяется формулой B4. \J — т — оо (ср. E2.14)). Рассмотрим теперь общий случай колеблющегося тела про- извольной формы. В изученном выше случае колебаний плоской поверхности член (vV)v в уравнении движения жидкости исче- зал тождественно. Для поверхности произвольной формы это, конечно, уже не имеет места. Мы будем, однако, предполагать, что этот член мал но сравнению с другими членами, так что им все же можно пренебречь. Необходимые для возможности такого пренебрежения условия будут выяснены ниже. Таким образом, будем исходить по-прежнему из линейного уравнения B4.2). Применим к обеим частям этого уравнения операцию rot. Член rot gradp исчезает тождественно, так что мы получаем rotv zArotv, B4.9) т. с. rotv удовлетворяет уравнению типа уравнения теплопро- водности. Но мы видели выше, что такое уравнение приводит к экспо- ненциальному затуханию описываемой им величины. Мы можем, следовательно, утверждать, что завихренность затухает по на- правлению в глубь жидкости. Другими словами, вызываемое ко- лебаниями тела движение жидкости является вихревым в неко- тором слое вокруг тела, а на больших расстояниях быстро пере- ходит в потенциальное движение. Глубина проникновения вих- ревого движения ~д. В связи с этим возможны два важных предельных случая. Величина S может быть велика или мала по сравнению с разме- рами колеблющегося в жидкости тела. Пусть I — порядок величи- ны этих размеров. Рассмотрим сначала случай д^>1; это значит, что должно выполняться условие I uj <С v. Наряду с этим усло- вием мы будем предполагать также, что число Рейнольдса мало. § 24 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 125 Если а — амплитуда колебаний тела, то его скорость — порядка величины аи). Поэтому число Рейнольдса для рассматриваемого движения есть uoal/v. Таким образом, предполагаем выполнение условий 12ш<^и, — <1. B4.10) V Это — случай малых частот колебаний. Но малость частоты озна- чает, что скорость медленно меняется со временем и потому в общем уравнении движения — + (vV)v = --Vp + z/Av можно пренебречь производной длг/dt. Членом же (vV)v можно пренебречь в силу малости числа Рейнольдса. Отсутствие члена длг/dt в уравнении движения означает стационарность движения. Таким образом, при 6 ^> I движение можно рассматривать в каждый данный момент времени как стационарное. Это значит, что движение жидкости в каждый данный момент такое же, каким оно было бы при равномерном движении тела со скоростью, которой оно в действительности обладает в данный момент. Если, например, речь идет о коле- баниях погруженного в жидкость шара, с частотой, удовлетво- ряющей неравенствам B4.10) (где / есть теперь радиус шара), то можно поэтому утверждать, что испытываемая шаром сила сопротивления будет определяться формулой Стокса B0.14), по- лученной для равномерного движения шара при малых числах Рейнольдса. Перейдем теперь к изучению противоположного случая, ко- гда / 3> S. Для того чтобы можно было опять пренебречь чле- ном (vV)v, необходимо в этом случае одновременное выполне- ние условия малости амплитуды колебаний тела по сравнению с его размерами /2о;>^ a</ B4.11) (заметим, что число Рейнольдса при этом отнюдь не должно быть малым). Действительно, оценим член (vV)v. Оператор (vV) означает дифференцирование вдоль направления скорости. Но вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по ка- сательной. В этом направлении скорость заметно меняется лишь на протяжении размеров тела. Поэтому (vV)v ~ v2/I ~ а2ио2/I (сама скорость v ~ аи)). Производная же длг/dt ~ vu) « аиJ. Сравнив оба выражения, видим, что при а ^ I действительно (vV)v<cC<9v/<9?. Члены же длг/dt и vAv имеют теперь, как легко убедиться, одинаковый порядок величины. Рассмотрим теперь характер движения жидкости вокруг ко- леблющегося тела в случае выполнения условий B4.11). В тон- ком слое вблизи поверхности тела движение является вихревым. 126 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II В основной же массе жидкости движение потенциально . По- этому везде, кроме пристеночного слоя, движение жидкости опи- сывается уравнениями rotv = 0, divv = O. B4.12) Отсюда следует, что и Av = 0, а потому уравнение Навье-Стокса переходит в уравнение Эйлера. Таким образом, везде, кроме при- стеночного слоя, жидкость движется как идеальная. Поскольку пристеночный слой тонкий, то при решении урав- нений B4.12) с целью определения движения в основной массе жидкости следовало бы взять в качестве граничных условий те условия, которые должны выполняться на поверхности тела, т. е. равенство скорости жидкости скорости тела. Однако решения уравнения движения идеальной жидкости не могут удовлетво- рить этим условиям. Можно потребовать лишь выполнения это- го условия для нормальной к поверхности компоненты скорости жидкости. Хотя уравнения B4.12) и неприменимы в пристеночном слое жидкости, но поскольку получающееся в результате их решения распределение скоростей уже удовлетворяет необходимым гра- ничным условиям для нормальной компоненты скорости, то ис- тинный ход этой компоненты вблизи поверхности не обнаружит каких-либо существенных особенностей. Что же касается каса- тельной компоненты, то, решая уравнения B4.12), мы получили бы для нее некоторое значение, отличное от соответствующей компоненты скорости тела, между тем как эти скорости тоже должны быть равными. Поэтому в тонком пристеночном слое должно происходить быстрое изменение касательной компонен- ты скорости. Легко определить ход этого изменения. Рассмотрим какой- нибудь участок поверхности тела, размеры которого велики по сравнению с ?, но малы но сравнению с размерами тела. Такой участок можно рассматривать приближенно как плоский и по- тому можно воспользоваться для него полученными выше для плоской поверхности результатами. Пусть ось х направлена по направлению нормали к рассматриваемому участку поверхно- сти, а ось у — по касательной к нему, совпадающей с направле- нием тангенциальной составляющей скорости элемента поверх- ности. Обозначим через vy касательную компоненту скорости движения жидкости относительно тела; на самой поверхности Vy должно обратиться в нуль. Пусть, наконец, VQe~iujt есть зна- 1) При колебаниях плоской поверхности на расстоянии 6 затухает не только rot v, но и сама скорость v. Это связано с тем, что плоскость при своих колебаниях не вытесняет жидкости и потому жидкость вдали от нее остается вообще неподвижной. При колебаниях же тел другой формы происходит вытеснение жидкости, в результате чего она приходит в движение, скорость которого заметно затухает лишь на расстояниях порядка размеров тела. § 24 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 127 чение vy, получающееся в результате решения уравнений B4.12). На основании полученных в начале этого параграфа результатов мы можем утверждать, что в пристеночном слое величина vy бу- дет падать по направлению к поверхности по закону Vy = voe-iujt{l - exp [-A - i)xy/u>/2v] }, B4.13) Наконец, полная диссипируемая в единицу времени энергия бу- дет равна интегралу Якин = -^ дафЫ^, B4.14) взятому по всей поверхности колеблющегося тела. В задачах к этому параграфу вычислены силы сопротивле- ния, действующие на различные тела, совершающие колебатель- ное движение в вязкой жидкости. Сделаем здесь следующее об- щее замечание по поводу этих сил. Написав скорость движения тела в комплексном виде и = uoe~iujt, мы получаем в результа- те силу сопротивления F, пропорциональную скорости и, тоже в комплексном виде F = /Зи, где /3 = /3\ +i/?2 —комплексная посто- янная; это выражение можно написать как сумму двух членов: F = (p1+ if32)u = f3lU - ^щ B4.15) uj пропорциональных соответственно скорости и и ускорению й с вещественными коэффициентами. Средняя (по времени) диссипация энергии определяется сред- ним значением произведения силы сопротивления и скорости; при этом, разумеется, следует предварительно взять веществен- ные части написанных выше выражений, т. е. написать: Замечая, что средние значения от e±2lujt равны нулю, получим ^ Ш \ 2 ^2 B4.16) кин \ф + 4 Таким образом, мы видим, что диссипация энергии связана толь- ко с вещественной частью величины /3; соответствующую (про- порциональную скорости) часть силы сопротивления B4.15) мож- но назвать диссипативной. Вторую же часть этой силы, про- порциональную ускорению (определяющуюся мнимой частью /3) 1) Распределение скоростей B4.13) написано в системе отсчета, в которой твердое тело покоится (vy = 0 при х = 0). Поэтому в качестве vo надо брать решение задачи о потенциальном обтекании жидкостью неподвижного тела. 128 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II и не связанную с диссипацией энергии, можно назвать инер- ционной. Аналогичные соображения относятся к моменту сил, действу- ющих на тело, совершающее вращательные колебания в вязкой жидкости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Колебательное движение в вязкой жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. По- 