Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходя- щей в конце концов в тепло. Вычисление диссипируемой энергии в особенности просто для несжимаемой жидкости. Полная кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна = P2.i' Вычислим производную от этой энергии по времени. Для это- го пишем: dt 2 и dt и подставляем для производной dvi/dt ее выражение, согласно уравнению Навье-Стокса: dvi _ dvi I dp 1 da'ik dt дхк p dxi p dxk В результате получаем д pV2 / V74 д' — ^— = -/9v(vV)v - dt 2 Здесь через (vcr7) обозначен вектор с компонентами Via'ik. Заме- чая, что в несж:имаемой ж:идкости divv = 0, можно написать первый член справа в виде дивергенции: Выражение, стоящее под знаком div, представляет собой не что иное, как плотность потока энергии в жидкости. Первый член в квадратных скобках есть поток энергии, связанный с про- стым переносом массы жидкости при ее движении, совпадающий с потоком энергии в идеальной жидкости (см. A0.5)). Второй же член (vcr7) есть поток энергии, связанный с процессами внутрен- него трения. Действительно, наличие вязкости приводит к появ- лению потока импульса a'ik; перенос же импульса всегда связан с переносом энергии, причем поток энергии получается, очевидно, из потока импульса умножением на скорость. Проинтегрировав A6.1) по некоторому объему V, имеем A6.2) § 17 ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУБЕ 79 Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме V благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй же член (взятый с обратным знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинети- ческой энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией. Если распространить интегрирование по всему объему жид- кости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности скорость обращается в нуль г)), и мы получим диссипируемую в единицу времени во всей жидкости энергию в виде I dvi ,T/ 1 [ i (dvi dvk dV A + (последнее равенство следует из симметричности тензора crfik). В несжимаемой жидкости тензор a'ik определяется выражением A5.8). Таким образом, находим окончательно следующую фор- мулу для диссипации энергии в несжимаемой жидкости: 2 Диссипация приводит к уменьшению механической энергии, т. е. должно быть ?7Кин < 0. С другой стороны, интеграл в A6.3) является величиной всегда положительной. Поэтому мы можем заключить, что коэффициент вязкости т\ положителен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диссипация энергии в несжимаемой жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
