В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собствен- но-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним бло- ки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию К?к{хи Х2, х3) = @|Т^(Ж1)^(а;2)^(Жз)|0} A06.1) с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разно- стей аргументов жх, #2, хз- Выраженная через операторы в пред- ставлении взаимодействия, функция К имеет вид К(хг, х2, аз) = Переход к импульсному представлению осуществляется форму- лой BttL<5V + k-riK&fa, pi; к) = ^4443. A06.3) В диаграммной технике функциям К^. соответствуют блоки (треххвостки) вида A06.4) Р2 VI с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, им- пульсы которых связаны законом сохранения pi + k=p2. A06.5) § 106 ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР 527 Член нулевого порядка в разложении этой функции об- ращается в нуль, а член первого порядка в координатном пред- ставлении ж2, х3) = е Г G(x2 - x)juG(x - х3) или в импульсном представлении К^(р2, pi; k) = eG(p2)^G(pi) • Dy^{k) A06.6) (биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма: A06.7) При переходе к следующим приближениям диаграммы услож- няются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграм- мы, однако, дают нечто существенно новое. Так, в третьем по- рядке возникают диаграммы 1 1 1 I 1 1 I I I A06.8) Первые три можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину A06.7) и собственно-энергетическую часть второго порядка; для четвертой диаграммы такое разбие- ние невозможно. Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в A06.6) множителей G и D точными пропагаторами Q и V. Остальные же члены разло- жения в сумме дадут новую величину, которая заменит в A06.6) множитель 7/х- Обозначив эту величину через Г^, получим, та- ким образом, по определению К»(р2, Р1; к) = №(р2)НеГ„(р2, pi; k)]ig(Pl)}[-iV^(k)}. A06.9) Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фо- тонной и двумя электронными линиями, называют вершинной частью, если этот блок нельзя разделить на части, соединен- ные между собой лишь одной (электронной или фотонной) лини- ей. Величина Г^ представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину 7^ ее называют вершинным оператором, или вершинной функцией. 528 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Приведем все диаграммы вершинного оператора с точностью до величин пятого порядка: 1 1 I I I А * А+ А+ А+ А+ ? (точный вершинный оператор — геГ здесь обозначен черной точ- кой). Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорных) и один 4-векторный индекс; он явля- ется функцией двух электронных (pi, Р2) и одного фотонного (к) импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно относиться к реальным частицам: диаграмма A06.4) сама по себе (не как часть более сложной диаграммы) отвечала бы поглоще- нию фотона свободным электроном, но такой процесс несовме- стим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэто- му хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему полю). Вершинные части можно разделить еще на две категории: неприводимые и приводимые. Неприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических по- правок к внутренним линиям и в которых нельзя выделить ча- стей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам. Так, из диаграмм A06.10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы а/с), з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме в) верхнюю горизонтальную штриховую линию можно рассма- тривать как поправку к верхней вершине, а боковые штриховые в диаграммах д) и е) —как поправки к боковым вершинам. Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии та- кими же жирными линиями, а вершины — черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы D, G точными Т>, ?/, а при- ближенные вершинные операторы 7 — точными Г г) , мы полу- чим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей. ) Получающиеся таким образом диаграммы называют скелетными. § 106 ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР 529 Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид Это равенство представляет собой по отношению к Г интеграль- ное уравнение с бесконечным числом членов в правой его части. Из изложенного ясен общий принцип составления точных вы- ражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Т-произведений гейзенбер- говских операторов: по одному оператору ф(х) на каждый ко- нечный электрон, ф(х) на каждый начальный электрон и А(х) на каждый фотон. Приведем еще один пример: диаграммы вида A06.12) с четырьмя электронными концами («электронная четыреххво- стка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию A06.13) (зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов). Ее компоненты Фурье можно представить в виде = BтгLE4(]91 +Р2~РЗ -P4)Kik,lm(P3, P^'i Pi, P2), (Ю6.14) причем ; Pi, P2) = t(p3, PA; Pi, P2)]6sl{piNtm{p2)- (Ю6.15) В выражении A06.15) первые два члена исключают из опреде- ления функции Г(рз, Pa; Pi, P2) диаграммы, распадающиеся на две не связанные меж:ду собой части с двумя внешними концами 530 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ каждая: Р4 В третьем же члене множители Q исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям. Отметим также, что по свойствам Т-произведения фермиев- ских ^-операторов функции Г(рз? Р^ Ръ Р2) обладают свойства- ми антисимметрии: = -ГгА;,шг(рз, PA] P2, Pi)- (Ю6.16) Если импульсы pi, р2-> Рз, Ра отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы A06.12) изображают процесс рас- сеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процес- са, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов Q) х) : A06.17) Вследствие A06.16) эта амплитуда автоматически обладает долж- ной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вершинный оператор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
