Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и покажем, каким образом должны производиться вычисления с учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электро- нов. Матрица плотности фотона выражается, согласно (8.17), с по- мощью пары единичных 4-векторов е^1\ е^2\ удовлетворяющих условиям (8.16). В данном случае можно выбрать эти векторы единым образом для обоих фотонов. Это — введенные в § 70 4-векторы х) ^A) N Р /ог-7 -I \ — —/ : •) с — —/ •) \ / где КХ = kX + klX, qX = к'Х -кХ=рХ- р'Х. Величины Q^v в (86.5) даются формулой (86.4). Их можно рассматривать как компоненты 4-тензора (в том смысле, что они образуют 4-тензор после образования величин u'Q^u, как гово- рят, «в обкладках»). Все компоненты 4-тензора можно исчер- пать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-век- тора, например на определенные выше Р, TV, g, К. Поскольку тензоры p/2J , pJJ содержат только компоненты по Р и 7V, фак- б Q р p/ , pJ р , ф тически нам нужны будут компоненты Q^v тоже лишь по этим 4-векторам. ) Альтернативный способ вычисления состоит в том, чтобы с самого нача- ла рассматривать определенную систему отсчета (скажем, лабораторную) и для каждого фотона выбрать в качестве е^\ е^ два чисто пространствен- ных (е = @, е)) вектора, ортогональных по отношению к импульсу фотона и по отношению друг к другу. При этом, однако, все вычисления будут про- изводиться в трехмерной форме, а результат не будет иметь инвариантного вида. 406 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Другими словами, достаточно искать в Q^v лишь члены вида Qv» = QoWeP + еBЧ2)) + Qi^e^ + е^) - - «г2(е<М2) - е{№) + QM]^] ~ 42L2)); (87-3) остальные члены при подстановке в (86.5) все равно выпали бы. Величины Qq и Q% являются скалярами — в том же смысле, как и Q^y есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы 7 лишь в «инвариантных» комбинациях: jK и т. п. В том же смысле Q\ и Q2 — псевдоскаляры (N — псевдовектор!) и должны содержать матрицу 75- Непосредственным проецированием тензора Q^v находим и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить Q^ через вза- имно ортогональные 4-векторы Р, TV, д, К: Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим пре- образованиям с помощью приведенных в § 22 формул. Кроме того, можно сделать в Q^v замены, которые не отразятся на результате при дальнейшем образовании произведения u'Q^u. Например, поскольку то можно заменить в Q^ слагаемые 5 jp + jp -> 2т, 75Ы) -^ 2т75. (87.4) Опустив детали вычислений, приведем результат : ^5 (87.5) Q2 = _ша+75^ Q3 = та+ + -а- где 1 , 1 а± =± — т2 х) Выражение (87.3) со значениями (87.5) соответствует виду G0.11)— G0.13), установленному в § 70 из общих соображений. Помимо равенств f3 = f6 = 0, следующих из Т-инвариантности, здесь оказывается равной нулю еще одна инвариантная амплитуда (/2). Это — свойство рассматрива- емого приближения теории возмущений, и оно исчезло бы в более высоких приб лижениях. § 87 ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ 407 Для дальнейших вычислений удобно применить к Q^v тот же формальный прием, который был описан в § 8 для матрицы плотности фотона: четыре компоненты тензора (87.3) по направ- лениям е^1), е^ объединим в двухрядную матрицу Q, которую затем разложим по матрицам Паули. Аналогично формуле (8.18) получим Q = Qo + Q<r, Q = (Qi, Q2, Qs) (87.6) Что касается фигурирующего в (86.5) тензора Q^y = 7°Q/L7°j то используя (87.3) и (87.5), легко убедиться (с помощью правил (F5.2а))), что его компоненты получаются из компонент Q^v за- меной величин Qo, Qi, ... на Qo, Q1, ..., где Qo = Qo, Qi = -Qi, Q2 = -Q2, Q3 = Qz, (87.7) и одновременной перестановкой индексов \iv х) . В матричном виде это значит, что Q = Q0 + Q3r. (87.8) Уточним теперь смысл 4-векторов е^1^ е^ в их отношении к поляризации фотонов. Для каждого из фотонов независимые направления поляризации будут определяться поперечными (по отношению к импульсу фотона к) составляющими 3-векторов е(Д)^ еB) 2) ф Легко видеть, что как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе (системе покоя начального электрона) вектор Р лежит в плоскости к к7, а вектор N перпендикулярен этой плоскости. Поэтому направление е^1) имеет смысл поля- ризации перпендикулярно плоскости рассеяния, а направление е^2) — поляризации в плоскости рассеяния. Надо также учесть, что параметры Стокса ?i, ?2? ?з определяются по отношению к осям xyz, образующим правовинтовую систему (с осью z вдоль направления к). Легко видеть, что для начального фотона та- кую систему составляют векторы N, —Pj_, k, а для конечного фотона — векторы N, Р7±, k7 (P_l, Р7± — составляющие Р, пер- пендикулярные соответственно к и к7). Изменение знака е^ в матрице плотности фотона (8.17) эквивалентно изменению зна- ка ?i и ?2- Поэтому матрицы плотности начального и конечного :)Для матрицы Q/j,u в исходной форме (86.4) мы имели бы просто Qни = Qvv Это свойство, однако, теряется в результате преобразований, включающих замены типа (87.4) и т. п. 2) Продольные же компоненты е (как и временные компоненты 4-век- торов е) можно при этом просто игнорировать: их несущественность обес- печивается калибровочной инвариантностью. 408 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X фотонов, отнесенные к 4-ортам е^\ е^\ будут , 7 (87-9) pW = \(l + €<r), * = (-&-&&• Теперь тензорный след вычисляется как след матричного произведения матриц (87.6)-(87.9) с помощью C3.5). В результате получается \Mfl\2 = SttVSpIO^'Qo^Qo +P{e)'Qp{e)Q) + + (? + t')(p{eYQoP{e)Q + P{eYQp{e)Qo) - *(? - - PieYQpie)Q) + />(e)'( '^'()()'()Qo)}- (87.Ю)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эффекты» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Р /ог-7 -I \ 
: 