Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппара- те квантовой электродинамики. Фотонный пропагатор D^ ста- новится основной величиной, характеризующей взаимодействие двух электронов. Эта его роль наглядно проявляется в положе- нии, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда D^ входит умноженный на токи переходов двух частиц. Анало- 336 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII гичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии электрона и фотона. Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов, начав с электронного случая. Подействуем на функцию Gik(x - х1) = -ЩТфг(х)фк(х')\0) G5.1) (г, к — биспинорные индексы) оператором jp — га, где р^ = гд^. Поскольку оператор ф(х) удовлетворяет уравнению Дирака (jp— —тп)ф(х) = 0, мы получим нуль во всех точках ж, за исключением лишь тех, в которых t = tf. Дело в том, что G(x — х1) стремится к различным пределам при t —>• f' + 0 и f —>• t' — 0: согласно определению G4.8) эти пределы равны соответственно и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают. Это приво- дит к появлению в производной dG/dt дополнительного члена с 6- функцией: | ^ 6(t - G5.2) Замечая, что в оператор jp — га производная по t входит в виде ijQd/dt, имеем поэтому ^l(r',t)}+\O). G5.3) Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив опе- раторы V>(r, ?) и ip(rf,t) (см. G3.6)) и учтя перестановочные пра- вила для фермионных операторов ар, 6р, найдем ^ г(г)Ф-рк(г% G5.4) где ф±р(г) —волновые функции без временного множителя (как и в § 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризацион- ные индексы). Но совокупность всех функций ф±р(т) —собствен- ных функций гамильтониана электрона — составляет полную сис- тему нормированных функций, и согласно общим свойствам та- ких систем (ср. III, E.12)): Рг(г)ф;к(г') + ф.рг(г)ф*_рк(г')] = 8гкё(г - г'). G5.5) § 75 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 337 Сумма же в правой стороне равенства G5.4) отличается от напи- санной заменой фк на (V>*70)fc и равна jfkS(r — r'). Таким образом, 5(r-r')jik- G5-6) Отметим, что из этой формулы следует, в частности, упомя- нутое уже в § 74 утверждение об антикоммутативности опера- торов фиф вне светового конуса. При (х — х'J < 0 всегда су- ществует такая система отсчета, в которой t = t'\ если при этом г ф г7, то антикоммутатор G5.6) действительно равен нулю. Подставив G5.6) в G5.3) (и опустив биспинорные индексы), найдем окончательно GР - m)G(x - х') = 6^ (х - х'). G5.7) Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет урав- нению Дирака с E-функцией в правой части. Другими словами, это есть функция Грина для уравнения Дирака. Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией C{i = х — ж7), а с ее компонентами Фурье G(p) = / G@eip4^ G5.8) (пропагатором в импульсном представлении). Взяв компоненту Фурье от обеих сторон G5.7), найдем, что G(p) удовлетворяет системе алгебраических уравнений (-yp-m)G(p) = 1. G5.9) Решение этой системы: G(p) = ^±^. G5.10) Четыре компоненты 4-векторар в G(p) являются независимыми переменными (не связанными соотношением р2 = р^ — р2 = т2). Написав знаменатель в G5.10) в виде р$ — (р2 +т2), мы увидим, что G(p) как функция от ро при заданном р2 имеет два полюса: при ро = ±?, где е = ур2 -\-т2. При интегрировании по dpo в интеграле г г г G5.11) 1) В явной записи с биспинорными индексами Gр - m)uGik(x - х) = 5{А\х - x')8ik. G5.7а) 338 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII (т = t — tf) возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов; без указания этого способа выражение G5.10) еще по существу неопределенно. Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному опреде- лению G5.1). Подставим в него ^-операторы в виде сумм G3.6), заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь от следующих произведений операторов рождения и уничтоже- ния: @|ара+|0) = 1, @|6рЬ+|0) = 1. (Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде чем «уничтожить» частицу оператором ар или 6р, надо «родить» ее оператором ар или 6р.) Получим Gik(x-x') = -г^2 ,k(r'), t-t'>0; G5.12) p p = г V^ el?^~tf^-pi®^_pk{r'I t — t1 < 0 p (при t > t' вклад в G дают только электронные, а при t < t' — только позитронные члены). Представив себе суммирование по р замененным интегриро- ванием по d3p и сравнив G5.12) с G5.11), мы увидим, что интег- рал e-ipoTG(p)dp0 G5.13) должен иметь фазовый множитель е гет при т > 0 и ег?Т при т < < 0. Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы ро = е и ро = — е соответственно сверху и снизу (в плоскости комплексного переменного ро): :y^ G5.14) — ? w 0 +? Действительно, при т > 0 замыкаем путь интегрирования бес- конечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости, так что значение интеграла G5.13) будет даваться вычетом в полюсе ро = +?; при т < 0 замыкаем контур в верхней полу- плоскости, и интеграл определится вычетом в полюсе ро = —е. В обоих случаях получится требуемый результат. § 75 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 339 Это правило обхода (правило Фейнмана) можно сформули- ровать иначе: интегрирование производится везде вдоль самой вещественной оси, но массе частицы т приписывается бесконеч- но малая отрицательная мнимая часть: т^т-гО. G5.15) Действительно, имеем тогда е -> л/р2 + (т- гОJ = л/р2 + га2 - гО = е - гО. Другими словами, полюсы ро = ±? смещаются вниз и вверх от вещественной оси: • G5.16) так что интегрирование вдоль этой оси становится эквивалент- ным интегрированию вдоль пути G5.14) г) . С учетом правила G5.15) пропагатор G5.10) можно написать в виде G(p) = ^ + т . G5.17) Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрирует- ся следующим соотношением: —L- = pl-m5(x). G5.18) х + гО х Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую- либо функцию f(x) и интегрировании имеем оо оо Г l^Ldx = I f-^dx - гтг/(О), J x + гО J x G5.19) — оо —оо где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означает глав- ное значение. Функция Грина G5.10) представляет собой произведение бис- пинорного множителя jp + m и скаляра: ^ ^—2. G5.20) Соответствующая координатная функция G^(^) является, оче- видно, решением уравнения (р2 - m2)G^(x - х') = дD)(х - х'), G5.21) Полезно заметить, что правило сдвига полюсов соответствует тому, что G(x — х') приобретает бесконечно малое затухание по |т|, где г = t — t1'. Действительно, если записать значение ро в смещенных полюсах как — (е — — iS) и +(е — iS) (где S —»¦ +0), то временной множитель в интеграле G5.13) будет равен ехр(—ге|т| — 6\т\). 340 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII т. е. функцией Грина уравнения (р2 — т?)ф = 0. В этом смысле можно сказать, что G^\x — х') есть пропагатор скалярных ча- стиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше), что функция распространения скалярного поля выража- ется через ^-операторы A1.2) формулой G^(x - х') = -г@\Тф(х)ф+(х')\0). G5.22) аналогичной определению G5.1). При этом хронологическое про- изведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом: Ш^} ?>'' G5.23) , t < t . (с одинаковыми знаками при t > t' и t < t').
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электронный пропагатор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
