Матрица рассеяния должна быть унитарной: SS^ = 1, или в матричных элементах: S!n = 5fi, G1.1) где индекс п нумерует все возможные промежуточные состо- яния . Это —наиболее общее свойство й'-матрицы, которым Смысл символа Sfi в G1.1) зависит, конечно, от конкретного выбора квантовых чисел и от нормировки волновых функций системы. Он должен быть определен так, чтобы было J^ Sif = 1. § 71 УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ 317 обеспечивается сохранение нормировки и ортогональности состо- яний при реакции (ср. III, § 125, 144). В частности, диагональные элементы равенства G1.1) выражают просто тот факт, что сумма вероятностей перехода из данного начального в любое конечное состояние равна единице: Подставив в G1.1) матричные элементы в виде F4.2), полу- чим Tfi - T*f = гBтгL ? ${4) (Pf ~ Pn)TfnT*n = n 4Y{4)-Pn)T:fTm. G1.2) Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны равенства получаются при записи условия унитарности соответ- ственно в виде SS+ = 1 или S+S = 1, с разными порядками расположения множителей S и 5+. Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. По- этому если взаимодействие (как, например, электромагнитное) содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а правая — второго порядка малости. В первом приближении по- следней можно, следовательно, пренебречь, и тогда Tft = T*f, G1.3) т. е. матрица Т эрмитова. Для придания условию унитарности G1.2) более конкретного вида надо уточнить, что именно подразумевается под суммиро- ванием по п. Сделаем это для столкновения двух частиц, причем будем считать, что законы сохранения допускают только упругое рассеяние; тогда и все промежуточные состояния в G1.2) — такие же «двухчастичные». Суммирование по ним означает интегриро- вание по промежуточным импульсам р", р" и суммирование по спиновым квантовым числам (например, спиральностям) обеих частиц, которые обозначим через А": Г v J А" Исключив E-функции тем же способом, как это делалось в § 64, получим «двухчастичное» условие унитарности в виде 2 Г гр /тп* * У \ |Р| / гг\ /тп* II II jll 1 fj — ±Af — > I 1 frilir.t-1 Co CIO , 318 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ где р — импульс, е — полная энергия в системе центра инерции. Нормировочный объем исчезает из этого соотношения после пе- рехода от амплитуд Tfi к амплитудам М^, согласно F4.10): Mfi - M*f = —'— 2^ — / MfnM*ndo". G1.4) ^ A" s ^ Определим амплитуду упругого рассеяния так, чтобы было da= \{ri\'\f\n\)\2do' G1.5) (n, n7 — направления начального и конечного импульсов; А, А7 — начальные и конечные спиновые квантовые числа). Сравнение с F4.19) показывает, что (n'A'l/lnA) = -LMfi, G1.6) и условие унитарности G1.4) принимает вид <n'A'|/|nA) - (n\\f\n'\T = = ^ Е [(n'\'\f\n"\")(n\\f\n"\"ydo", G1.7) обобщающий известную формулу нерелятивистской теории (см. III, A25.8)). Амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол называют диагональный матричный элемент Т^, в котором конечное сос- тояние частиц совпадает с начальным . Для этой амплитуды условие унитарности G1.2) принимает вид отгпф- — Г?^4 Х^ IT- 12ЛD)ГР- — Р ) G18^ П Правая сторона этого равенства лишь множителем отличается от полного сечения всех возможных процессов рассеяния из данного начального состояния г; обозначим это сечение посредством at. Действительно, суммируя вероятность F4.5) по состояниям / и деля на плотность потока j, находим так что 2V — 1тТц = at- 3 Нормировочный объем исчезает отсюда после замены Тц = = Mu/BeiV • 2б2У) (б1, 62— энергии частиц в системе центра инерции) и подстановки j из F4.17): 1тМц = 2\p\sat. G1.9) Подчеркнем, что речь идет именно об элементах матрицы Т, а не S, т. е. диагональный элемент берется после исключения из S единичной матрицы. § 71 УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ 319 Эта формула составляет содержание так называемой оптической теоремы. Если ввести амплитуду упругого рассеяния G1.6), она примет свой обычный вид Im(nA|/|nA) = MCTi G1.10) 4тг (ср. III, A42.10)). Если ^-матрица дана в моментном представлении (парциаль- ные амплитуды), то ввиду ее диагональности по J условие уни- тарности пишется для каждого значения J в отдельности. Так, если возможно лишь упругое рассеяние, условие унитар- ности имеет вид Y,(X\SJ\\")(\\SJ\\"y = 6xx, G1.11) А" В силу Т-инвариантности матрица упругого рассеяния симмет- рична (ср. F9.10)) и поэтому может быть приведена к диагональ- ному виду. После этого условие унитарности требует равенства диагональных элементов по модулю единице; их принято в таком случае записывать в виде SZ = expBiSJn), G1.12) где 8jn — вещественные постоянные — функции энергии (индекс п нумерует при заданном J диагональные элементы). В общем случае, когда число N независимых амплитуд превышает ранг (квадратной) матрицы SJ, коэффициенты преобразования, осу- ществляющего диагонализацию SJ, зависят от J и В (в этих ко- эффициентах, наряду с главными значениями матрицы, заклю- чены также независимые величины, эквивалентные исходным N величинам). Но если число N совпадает с рангом матрицы SJ (и тем самым с числом ее главных значений), то коэффициен- ты диагонализации универсальны. При этом диагонализирую- щие состояния — это состояния с определенными четностями (но, конечно, уже без определенных спиральностей). Условие G1.11), выраженное с помощью парциальных ампли- ТУД (^\fJ\^), имеет вид <A'|/J|A> - <A|/J|A'>* = 2i|p| EWV^I/V)*, G1.13) A" в чем легко убедиться, подставив в G1.7) разложение F8.13) и учтя ортонормированность D-функций. При Т-инвариантности матрица (А7|/^|А) симметрична, и G1.13) принимает вид Im(A'|/J|A) = |p|(A'|/J/J+|A). G1.14) Если матрица диагонализована, то ее диагональные элементы fn = ^b(expBiEJn) - 1) = ^-exp(iSjn)smSJn. G1.15) 2г|р| |р| 320 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Наконец, укажем некоторые следствия, возникающие из усло- вия унитарности вместе с требованием СРТ-инвариантности. В силу последней Tfi = %, G1.16) где in/ — состояния, отличающиеся от г и / заменой всех ча- стиц античастицами (а также изменением знака векторов момен- та при неизменных импульсах). В частности, для диагональных элементов Т — Т— J-гг — 1Ц- -гг Из G1.8) или G1.9) следует поэтому, что полное сечение всех возможных процессов (с заданным начальным состоянием) оди- наково для реакций между частицами и античастицами. В частности, одинаковы полные вероятности распада (т. е. времена жизни) частицы и античастицы. Эти результаты (наря- ду с равенством масс частицы и античастицы — § 11)—важней- шие следствия СРТ-инвариантности взаимодействий. Напомним (см. конец § 69), что такое же утверждение для каждого из воз- можных каналов распада в отдельности требует также соблюде- ния СР-инвариантности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Условие унитарности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Это —наиболее общее свойство й'-матрицы, которым 