Требования, налагаемые симметрией по отношению к преоб- разованиям Р, С, Т (если, конечно, данный процесс взаимодей- ствия частиц действительно обладает этой симметрией), приво- дят к появлению определенных связей между различными спи- ральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают чи- сло независимых амплитуд *) . ) Само число независимых амплитуд не зависит, конечно, от конкретно- го представления матрицы SJ и остается одинаковым при любом выборе спиновых переменных. 306 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Для установления этих связей выясним предварительно свой- ства симметрии спиральных состояний системы двух частиц. Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обла- дает импульсом pi=p и спиральностью Ai относительно направ- ления р, а другая — импульсом р2= — р и спиральностью А2 от- носительно направления —р. Если же определять спиральности для обеих частиц относительно одного и того же направления р, то они будут равны Ai и — А2. Соответственно они будут описы- ваться плоскими волнами с амплитудами Up и Up . Систе- ма же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной) (AiA2) „ „ (Ai) (-А2) Up , составленной из произведении амплитуд Up и Up Рассматривая теперь систему как одну частицу со спираль- ностью Л = Ai — А2 в направлении п = р/|р|, мы можем напи- сать волновую функцию (в импульсном представлении, т. е. как функцию п) для состояния с определенными значениями J, М, Ai, A2 (а также полной энергии е)\ ^ A = X1-X2 F9.1) (ср. F8.8)). Так как Л есть проекция полного момента на р, то должно быть |Л| ^ J. F9.2) Согласно A6.14) при инверсии = r/ir/2(-l)Sl+S2"Al+A2^("Al"A2)(n), F9.3) где 7/i, 7/2 — внутренние четности частиц. Использовав также A6.10), найдем закон преобразования функций F9.1): Hjmx,x2 =ViV2(-l)Sl+S2-JipjM-M-x2- F9.4) Если частицы тождественны, то возникает вопрос о симмет- рии по отношению к их перестановке. Перестановка частиц озна- чает перестановку их импульсов и спинов. Для уяснения смы- сла этой операции в применении к функции F9.1) замечаем, что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что моменты обеих частиц проецируются на направление одного и того же вектора pi = р — импульса одной (первой) из частиц. После перестановки место этого вектора займет вектор р2 = —р; проекции моментов ji и J2 на этот вектор будут — Ai и А2 (вме- сто проекций Ai и — А2 на р). Поэтому результат воздействия оператора перестановки частиц (Р12) на функцию F9.1) можно записать как § 69 СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ 307 где по-прежнему Л = Ai — A2. Использовав затем F9.3) и A6.10), найдем 2^1, F9.5) где 5i = 52 = s. Для тождественных частиц допустимы состояния лишь сим- метричные (для бозонов) или лишь антисимметричные (для фер- мионов) относительно перестановки. Поскольку первый случай имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц «s, в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций или, согласно, F9.5) Фшх1х2 + (-1УФшх2х1- F9.6) Замечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозо- нов и фермионов. Для системы из частицы и античастицы результат переста- новки выражается той же формулой F9.5). Однако, в отличие от случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих перестановочных симметрии, т. е. обе комбинации Ф± = ФшХгХ2 ± (-1)^ма2А!- F9.7) Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностя- ми С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как результат полной перестановки всех переменных (спиновых и за- рядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой спиновых переменных (спиральностей). Результат первой опе- рации должен совпадать с результатом перестановки в системе двух тождественных частиц. Отсюда ясно, что при верхнем знаке в F9.7) (совпадающем со знаком в допустимом для тождествен- ных частиц состоянии F9.6)) система будет зарядово-четна, а при нижнем знаке — зарядово-нечетна: Сф± = ±ф±. Наконец, рассмотрим операцию обращения времени. Волно- вая функция покоящейся частицы со спином s и его проекцией а преобразуется согласно (см. III, F0.2)). Волновую функцию двух частиц в системе их центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении транс- формационных свойств) как волновую функцию «покоящейся частицы» с моментом J и его проекцией М. Что касается спи- ральностей Ai, A2, то они не меняются: обращение времени ме- няет знак векторов импульса и момента, а потому произведения 308 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ jp не меняются. Таким образом, TiPjmmx2 = (-1)J~M^jmmx2- F9.8) Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для спиральных амплитуд. Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции а + b —>> с + d должны совпадать (при заданных J и е) амплитуды переходов |ЛаА6) -»• |AcAd> и Р|АаА6) -»• P|AcAd). Использовав F9.4), найдем поэтому (\c\d\SJ\\a\b) = rhH+ J - Ла, -Ль>. F9.9) ЦаЦЪ Если же вместо состояний с определенными спиральностями вы- брать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации 1 (где Л1Л2 = ЛаЛ^ или ЛСЛ^), то обратятся в нуль амплитуды пе- реходов, не сохраняющих четность. Обращение времени преобразует каждое состояние согласно F9.8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состо- яния. Поэтому Т-инвариантность приводит к соотношениям (\c\d\SJ (,е)\К\) = (XaXb\SJ(s)\XcXd). F9.10) Эти две амплитуды, однако, относятся к различным процессам (прямая и обратная реакции). Лишь в случае упругого рассеяния оба процесса по существу совпадают, и тогда F9.10) представля- ет собой определенную связь между спиральными амплитудами одной и той же реакции. При упругом рассеянии двух тождественных частиц число различных амплитуд уменьшается еще и в силу перестановоч- ной симметрии. Мы видели, что при заданном J осуществляют- ся либо только симметричные, либо только антисимметричные по Л]_, Л2 состояния. Тем самым сохранение момента автомати- чески означает сохранение также и симметрии по отношению к перестановке спиральностей. Аналогичная ситуация имеет место при упругом рассеянии частицы на античастице (или при превращении такой пары в другую пару, т. е. при реакции вида а + а —>> Ъ + Ъ). При за- данном J существуют как симметричные, так и антисимметрич- ные по Л]_, Л2 состояния, но этим состояниям отвечают разные § 69 СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ 309 значения зарядовой четности системы. Отсюда следует, что если взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая чет- ность сохраняется, то переходы между состояниями различной симметрии по Ai, A2 запрещены г) . Подчеркнем, однако, отличие от случая тождественных частиц, когда при каждом заданном J состояния одной из симметрии вообще отсутствуют. В случае же «частица — античастица» запрещены лишь переходы между со- стояниями различной симметрии, хотя сами эти состояния (для каждого J) существуют. В силу универсальной СРТ-инвариантности существование Т-инвариантности означает также и СР-инвариантность. Послед- няя приводит к равенству амплитуд двух реакций, из которых одна получается из другой заменой всех частиц античастицами (и изменением знака спиральностей), причем Х^ = — Аа, ... 2) : (AcAd|SJ|AaA6> = (AeA^|SJ|A^>. F9.11) Число независимых амплитуд одинаково для всех кросс-ка- налов одной и той же обобщенной реакции; поэтому для опре- деления этого числа можно рассматривать любой из каналов. Так, одинаковым числом независимых амплитуд описываются упругое рассеяние а + 6—)>а + 6и аннигиляция а + а —>• b + b. При этом ограничения, налагаемые в первом случае Т-инвари- антностью, эквивалентны ограничениям, налагаемым во втором случае С-инвариантностью. Остановимся еще на реакции распада одной частицы на две: а —>• b + с. В системе центра инерции (система покоя частицы а) имеем рь = —рс. Умножив на р^ равенство ja = j^ + jc, получим Aa = A6-Ac F9.12) (спиральность Aa первичной частицы определена как проекция ее спина на направление импульса одной из вторичных частиц). Это соотношение является, можно сказать, следствием допол- нительной симметрии, которой обладает данный процесс: акси- альной симметрии вокруг направления р^ и рс. Если спин пер- вичной частицы sa < Sb + «sc, то соотношение F9.12) уменьшает число допустимых наборов значений Аа, А^, Ас и тем самым чис- ло независимых спиральных амплитуд распада. Полный момент J в данном случае совпадает со спином первичной частицы sa, так что является фиксированной величиной. ) Аналогичный запрет может возникнуть и как следствие изотопической инвариантности взаимодействия нетождественных частиц. Так, с точностью до этой инвариантности запрещены переходы между состояниями различ- ной симметрии по Ai, A2 при рассеянии нейтрона протоном. 2) Поскольку эти две амплитуды относятся к различным реакциям, интер- ференция между которыми тем самым невозможна, фазовый множитель в F9.11) вообще не имеет смысла и его можно положить равным 1. Реальным смыслом обладает лишь следующее из F9.11) равенство сечений. 310 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Р-инвариантность при распаде выражается соотношением (\b\c\SJ\\a) = ^(-1)в«-в*-«с(_Ль? -\C\SJ\ - Ха) F9.13) (здесь использован наряду с F9.4) также и закон преобразования волновой функции одной частицы A6.16)). Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие ограничения возникают, если сохраняется С-четность. Здесь на- до различать три случая. Если продукты распада тоже истинно нейтральны, то должно быть Са = СьСс\ это условие либо запре- щает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым ограничениям. Если частицы бис вообще различны, то С-ин- вариантность устанавливает соотношение между амплитудами различных процессов: а —>> Ь+с иа4 Ъ-\- с. Наконец, для распада а —>> Ъ + Ъ возникает ограничение, связанное с тем, что при задан- ной зарядовой четности С и заданном полном моменте J = sa система может находиться лишь в состояниях либо симметрич- ных, либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости от четности числа J и знака С. СР-инвариантность приводит к равенству амплитуд распа- дов а4& + сиаЧ& + с: <A6Ac|SJ|Aa) = <AjAc|SJ|Aa> F9.14) причем Xq; = — Аа, ... ), т. е. к равенству вероятностей распада частицы и античастицы. Если частица может распадаться раз- личными способами (по разным каналам), то это равенство от- носится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот результат предполагает соблюдение СР-инвариантности, не яв- ляющейся универсальным свойством природы. Универсальный характер имеет лишь СРТ-инвариантность; это требование са- мо по себе привело бы лишь к равенству (XbXc\SJ\Xa) = (A^J|A^Ae), в котором правая сторона относится к процессу, обратному рас- паду. Мы увидим ниже (см. § 71), что условие GРТ-инвариант- ности вместе с требованиями унитарности все же приводит к некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для ве- роятностей распада частицы и античастицы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия спиральных амплитуд рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
