Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в задан- ном направлении (т. е. с заданным импульсом), рассмотрим те- перь излучение фотона с определенными значениями момента j его проекции т на некоторое избранное направление z. Мы виде- ли в § 6, что такие фотоны могут быть двух типов — электриче- ского и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического типа. При этом снова будем считать размеры излучающей систе- мы малыми по сравнению с длиной волны. Вычисления удобно производить с помощью волновых функ- ций фотона в импульсном представлении, т. е. представив 4-век- тор А^(г) в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент i®Al®<Px = ejd'x ¦ ^®|0i*(k)e"to D6.1) (для упрощения записи формул опускаем индексы uojm у волно- вых функций фотона). Для ?//-фотона берем волновую функцию из G.10), выбрав произвольную постоянную С равной С = - 196 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных компонентах волновой функции (А) сократились члены, содер- жащие шаровые функции порядка j' — 1 (как это видно из фор- мул G.16)). Тогда А будет содержать только шаровые функции порядка j + 1, в результате чего соответствующий вклад в Vfi окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления) более высокого порядка малости (по а/А), чем вклад от ком- поненты А0 = Ф, содержащей шаровые функции более низкого порядка j. Таким образом, полагаем (п = к/а;). Подставив это выражение в D6.1) и проинтегрировав по получим Vfi = -eJJ—^ / d3x ¦ pfl® / done-lkrY*m(n). D6.2) Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложе- нием B4.12), записав его в виде e^r = 4тг f; ? г1ё1(кг)?Ст (fj Ylm (±) , D6.3) i=o -i где fcr) = ^n/{2kr)Jl+ih{kr) D6.4) (cm. Ill, C4.3)) 1). Подставив это разложение в D6.2), получим (остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности шаровых функций). В силу условия а/А « 1 в интеграле по $х будут играть роль лишь расстояния, для которых кг <^ 1. Поэтому можно заменить функции gj(kr) первыми членами их разложений по кг 2) : g.(kr) « (кгУ . D6.5) 6JV } Bj + l)!! V J 1) Нормировка функций gi такова, что их асимптотический вид при кг —>- оо: gi(kr)& у— '—!-. D6.4а) кг 2) Степень кг совпадает с порядком функции Yjm, в произведении с кото- рой выступает gj. Тем самым оправдывается пренебрежение членами в А, содержащими шаровые функции более высокого порядка. § 46 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 197 В результате получим V ^з \^з н~ 1)-' где введены величины D6.7) (напомним, что lj,-m — (~l)J~m^m)- Величины D6.7) называ- ют 2J -польными электрическими моментами перехода системы по аналогии с соответствующими классическими величинами (II, Для электрона во внешнем поле pfi = ф%ф%^ и тогда величины D6.7) вычисляются как матричные элементы от классической величины 47Г rJY- В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент перехода может быть в принципе вычислен аналогичным обра- зом для любой системы N взаимодействующих частиц. При этом плотность перехода выражается через волновые функции систе- мы в виде N pfi® = /^/(ГЬ • • • > Гдг)^г(гь . . . , Г#) ^ <*(Г - Гп) • d?Xi . . . d?XN, * п=1 D6.8) где интеграл берется по всему конфигурационному простран- ству 2) . Использованная нами волновая функция фотона соответству- ет (в координатном представлении) нормировке на E-функцию по шкале о;, как и предполагается в формуле D4.2). Подставив в нее D6.6), получим вероятность ??/-излучения 3) (э) _ 2Bj + l)(i + l) 2,7 + 1 2,Ю(э) х ,2 Ш Q) ) Мы определяем мультипольные моменты без множителя е в соответ- ствии с тем, что и токи определены в этой книге без зарядового множителя. ) Возможна ситуация, когда вероятность перехода обращается в нуль в силу приближенных правил отбора, справедливых лишь в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием электронов. В таком случае для получе- ния отличного от нуля результата надо пользоваться волновыми функциями с релятивистской поправкой, учитывающей это взаимодействие. 3) На первый взгляд могло бы показаться, что в силу изотропии простран- ства полная вероятность испускания фотона не должна зависеть от значения т. Что это не так, легко понять, если заметить, что для испускания фотонов с различными значениями т должны быть различны конечные состояния системы (при заданном ее начальном состоянии); ср. ниже правило D6.16). 198 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V В частности, при j' = 1 имеем wfl = —e2\(Q^_m)fi\2. D6.10) Величины QiJh связаны с компонентами вектора электрического дипольного момента формулами eQ^Q = idz, eQi±i — T—/=(dx =Ь idy). D6.11) Просуммировав D6.10) по значениям га, мы вернемся, как и сле- довало, к уже известной нам формуле D5.7) для полной вероят- ности дипольного излучения. Угловое распределение мультипольного излучения определя- ется формулой G.11). Нормируя ее на полную вероятность ис- пускания Wjm, имеем dwjm = \Y^l(n)\2Wjmdo = ™3m \VnYjm\2do. D6.12) В частности, для j = 1 У10 =iA/ACOs6>, Yi±i = =F4/ — sm0-e±i(p, V 4тг ' у 87Г где #, <р— полярный угол и азимут направления п относительно оси z. Вычисляя градиент, найдем, что угловое распределение дипольного излучения с определенными значениями га дается выражениями 7 3 • 2 Л 7 7 3 1+ COS2 в / / . п -, о\ аг^ю = w\o— sin vdo, dw\^±\ = w\^±\ do. D6.13) Их можно было бы, разумеется, получить и из формулы D5.6), положив в ней один раз (для га = 0): dx = dy = 0, dz = rf, a другой раз (га = ±1): с^ = Tidx = d/y/2, dz = 0. Если порядок величины размеров системы (атома или ядра) есть а, то порядок величины электрических мультипольных мо- ментов есть, вообще говоря, Q3jm ~ о?. Вероятность же мульти- польного излучения w3jm ~ ak(kaJj. D6.14) Увеличение степени мультипольности на 1 уменьшает вероят- ность излучения в отношении ~ (каJ. Законы сохранения момента в четности приводят к опреде- ленным правилам отбора, ограничивающим возможные измене- ния состояния излучающей системы. Если начальный момент си- стемы равен Ji, то после излучения фотона с моментом j момент § 46 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 199 системы может принимать лишь значения Jj, определяющиеся правилом сложения моментов (Jj — J/ — j): \Ji-Jf\ < j < Ji + Jf. D6.15) При заданных значениях Ji и Jf тем же правилом D6.15) определяются возможные значения момента фотона j. Но по- скольку вероятность излучения быстро убывает с увеличением j, то излучение происходит в основном с наименьшей возможной мультипольностью. Проекции Mj, и Mf моментов J^ и Jj вместе с проекцией т момента фотона удовлетворяют очевидному (из того же закона сложения моментов) правилу Mi-Mf =т. D6.16) Четности Pi и Pf начального и конечного состояний излуча- ющей системы должны удовлетворять условию Р/Рф = Рг, где Рф — четность излученного фотона; поскольку четности могут иметь лишь значения ±1, это условие можно записать также в виде РгР1 = Рф. D6.17) Для фотона электрического типа Рф = (—1)J, так что правило отбора по четности для электрического мультипольного излуче- ния: P{Pf = (-i)J'. D6.18) Правила отбора по полному моменту и по четности являются вполне строгими и должны соблюдаться при излучении любы- ми системами. Наряду с этими правилами могут существовать и другие, более жесткие, связанные с теми или иными особенностя- ми структуры конкретных излучающих систем. Такие правила неизбежно имеют лишь более или менее приближенный харак- тер; мы рассмотрим их в дальнейших параграфах этой главы. Зависимость вероятности испускания от квантовых чисел га, Mi, Mf всецело определяется тензорным характером мульти- польных моментов. Величины Qjm с заданным j составляют сфе- рический тензор ранга j. Зависимость его матричных элементов от указанных квантовых чисел дается формулой \{nfJfMf\Qh_m\nlJlMl)\2=^f ^ _\ D6.19) (см. Ill, A07.6)), где буква п условно обозначает совокупность остальных, помимо J и М, квантовых чисел состояния систе- мы. Стоящие в правой стороне равенства D6.19) приведенные 200 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V матричные элементы от чисел m, Mi, Mf не зависят. Подстав- ленная в D6.9) эта формула и определит искомую зависимость, которая оказывается пропорциональной з J* \2 т -Mi) (при этом предполагается, конечно, что излучатель не находится во внешнем поле; тогда частота перехода ио не зависит от чисел Mi и Mf). Просуммировав вероятность по всем значениям Mf (при за- данном Mi), мы получим полную вероятность испускания фото- на данной частоты с начального уровня системы щЗ^ В силу изотропии пространства очевидно, что эта величина не будет за- висеть также и от начального значения Mi. Суммирование осу- ществляется с помощью формулы \rii3i)\z D6.20) Mf ZJi + i (см. Ill, A07.11)).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электрическое мультипольное излучение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
