Обратимся к обсуждению полученных формул квантования поля. Прежде всего, формула B.12) для энергии поля обнаружи- вает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии фотоны 25 поля соответствует равенство нулю квантовых чисел N\^a всех ос- цилляторов (это состояние называют состоянием вакуума элек- тромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осцил- лятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» ио/2. При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваем- ся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории. Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энер- гии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля г) **u> P = Е ^«к. C.1) ha ha Эти формулы позволяют ввести основное для всей кванто- вой электродинамики понятие о световых квантах, или фото- нах 2) . Именно, мы можем рассматривать свободное электромаг- нитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию uj{= huo) и импульс к(= пНоо/с). Соотношение между энергией и импульсом фотона —такое, каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения N\^a приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и поляризациями е^аК Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фо- тона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6). Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе мате- матический формализм находится в полном соответствии с пред- ставлением об электромагнитном поле как о совокупности фото- нов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторич- ного квантования в применении к системе фотонов 3) . В этом методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют чис- ла заполнения состояний, а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уни- 1) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым образом, условившись понимать произведения операторов в B.10) как «нор- мальные», т. е. такие, в которых операторы сг" располагаются всегда левее операторов с. Формула B.23) примет тогда вид ) Представление о фотонах было впервые введено Эйнштейном (A. Ein- stein, 1905). 3) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был развит Дираком (P. A. M. Dirac, 1927). 26 фотон чтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно таки- ми операторами и являются с^, cjj^,: оператор с^а уничтожает фотон в состоянии ка, а с^а — рождает фотон в этом состоянии. Правило коммутации B.16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны явля- ются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допу- стимое число фотонов в любом состоянии может быть произ- вольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства). Плоские волны А\^а B.26), фигурирующие в операторе А B.17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтоже- ния фотонов, можно трактовать как волновые функции фото- нов, обладающих определенными импульсами к и поляризация- ми е^а\ Такая трактовка соответствует разложению ^-операто- ра в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение B.17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. § 12). Волновая функция B.26) нормирована условием 2)d3x = и; C.2) Это есть нормировка на один фотон в объеме V = 1. Действи- тельно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состо- янии с данной волновой функцией . В правой же стороне ра- венства C.2) стоит энергия одного фотона. Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравне- ния Максвелла. В данном случае (для потенциала А(г,?), удо- влетворяющего условию B.1)) это — волновое уравнение — - АА = 0. «Волновые функции» фотона в общем случае произвольных ста- ционарных состояний представляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности Обратим внимание на то, что коэффициент 1/Dтг) в интеграле C.2) в два раза больше обычного коэффициента 1/(8тг) в B.10). Эта разница связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ека, Нка, в отличие от эрмитовых операторов поля Е, Н. § 4 КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 27 пространственной локализации фотона — в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской кван- товой механике. Это связано с тем, что (как было указано в § 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смы- сла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа. Компоненты разложения Фурье функции А(г,?) по коорди- натам образуют волновую функцию фотона в импульсном пред- ставлении; обозначим ее A(k, t) = A{k)e~lujt. Так, для состоя- ния с определенным импульсом к и поляризацией е^ волновая функция импульсного представления дается просто коэффици- ентом при экспоненциальном множителе в B.26): /—е(а) Aka(k ,а ) = V4:7r-j=6kfk6aaf. C.3) В соответствии с измеримостью импульса свободной части- цы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного пред- ставления: она дает возможность вычислить вероятности и\^а различных значений импульса и поляризации фотона, находя- щегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам кван- товой механики и\^а дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции А (к7) по волновым функциям состояний с определенными к и е^а wka ос к'а' (коэффициент пропорциональности зависит от способа норми- ровки функций). Подставив сюда C.3), получим После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность того, что фотон имеет импульс к: wkoc |A(k)|2. C.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фотоны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. В правой же стороне ра- 