В § 128 были рассмотрены аналитические свойства амплиту- ды рассеяния как функции комплексной переменной Е — энергии частиц; орбитальный момент I играл при этом роль параметра, пробегающего вещественные целые значения. Дальнейшие су- щественные с методической точки зрения свойства амплитуды рассеяния выясняются, если рассматривать теперь / как непре- рывную комплексную переменную, при вещественных значениях энергии Е1). ) Эти свойства впервые изучались Редже (Т. Regge, 1958). § 141 ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ 709 Как и в § 128, рассмотрим радиальные волновые функции с асимптотическим (при г —>• ос) видом A41.1) Эти функции являются решениями уравнения Шредингера C2.8) (в котором / рассматривается теперь как комплексный параметр), причем отбор одного из двух независимых решений производится условием Rl « const • г1 при г —>> 0. A41.2) Сразу же отметим, что такое условие накладывает опреде- ленное ограничение на допустимые значения параметра I. Дей- ствительно, общий вид решения уравнения C2.8) при малых г есть Rl « c\rl + С2Г~1~Х (см. конец §32). Для того чтобы второе решение могло быть однозначным образом выделено «на фоне» первого и исключе- но, член с г~1~1 должен быть при г —>• 0 больше члена с г1. При комплексных значениях / отсюда возникает условие Re / > > Re(-Z- 1), т.е. Re(/ + \) >0* A41.3) Везде ниже рассматривается именно эта полуплоскость ком- плексного I— справа от вертикальной прямой / = —1/2. Будучи решением дифференциального уравнения с анали- тическими по параметру / коэффициентами, волновая функция R(r; /, Е) является аналитической функцией этого параметра, не имеющей особенностей в полуплоскости A41.3). Это относится, в частности, и к асимптотическому выражению A41.1), а потому функции АA,Е) и ВA,Е) не имеют особенностей по I. При этом, однако, подразумевается, что сохранение (при г —>> ос) обоих чле- нов в A41.1) действительно законно. При Е > 0 это всегда так, а при Е < 0 —справедливо, если поле U® удовлетворяет услови- ям A28.6) или A28.13). В этих рассуждениях существенно, что характер асимптотического (по г) поведения волновой функции зависит только от ?, но не от I; поэтому комплексность / не ме- няет условий перехода к асимптотике. Сравнив A41.1) с асимптотической формулой A28.15), най- дем элемент ^-матрицы в виде S(l, Е) = exp [2i6(l, E)] = еЫ||§|, A41.4) 710 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII справедливом и при комплексных значениях / (при этом, однако, «фазовый сдвиг» 6 уже не веществен). При вещественных значениях / и при Е > 0 функции А и В связаны соотношением A28.4): АA,Е) = В*A,Е). Отсюда сле- дует, что при комплексных / АA*, Е) = В*A, Е) при Е > 0, A41.5) а потому S(l, E) удовлетворяет условию комплексной унитарно- СШ11 S*(l,E)S(l*,E) = 1. A41.6) В силу отсутствия особенностей у A(l, E) и B(l, E) как функ- ций от / функция S(l,E) (ас нею и парциальная амплитуда рассеяния f(l,E)) имеет особенности (полюсы) лишь в нулях функции ВA,Е). Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости комплексного / называют полюсами Редснсе. Их положение зави- сит, конечно, от значения вещественного параметра Е. Функции определяющие положения полюсов, называют траекториями Редснсе, при изменении Е полюсы перемещаются в плоскости / по определенным линиям (индекс г, нумерующий полюсы, мы будем ниже опускать). Приступая к изучению свойств траекторий Редже, покажем прежде всего, что при Е < 0 все а(Е) —вещественные функции. Для этого рассмотрим уравнение ^} = 0, A41.7) которому удовлетворяет волновая функция с / = а. Умножив это уравнение на %* и проинтегрировав его по dr (причем первый член преобразуется интегрированием по частям), получим 0 0 0 Здесь учтено, что при В = 0 (условие, определяющее полюсы Ре- дже) волновая функция экспоненциально затухает при г' —>- ос, так что все интегралы сходятся. Первые два члена в полученном равенстве вещественны, а в последнем члене веществен интеграл. Поэтому должно быть Im [а(а + 1)] =1т(а + -} = 2 Re (а + -) Im a = 0. §141 ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ 711 Но поскольку мы рассматриваем лишь полюсы, находящиеся на полуплоскости A41.3), то заведомо Re (а + 1/2) > 0, и мы при- ходим к требуемому результату Im а{Е) = 0 при Е < 0. A41.8) Далее, произведем с уравнением A41.7) следующие операции (аналогичные выводу равенства A28.10)): дифференцируем его по Е, умножаем полученное уравнение на%, а исходное уравне- ние A41.7) — на дх/дЕ] вычтя затем одно из другого, получим тождество [Х дЕ Х\дЕ) \ П2Х ^ г2 dE Проинтегрируем его по dr от 0 до ос, снова учтя при этом обра- щение х в нуль при г —>> ос. Интеграл от первого члена обраща- ется в нуль, и мы находим а{а + 1)jdrJ xdr. A41.9) о о Ввиду известной уже нам вещественности а, вещественна также и волновая функция, а потому оба интеграла в A41.9) заведомо положительны. Следовательно, dE v и ввиду положительности а + 1/2 — > 0 при Е < 0. dE Таким образом, при Е < 0 функции а(-Б) монотонно возрас- тают с увеличением Е. Отрицательные значения Е, при которых функции а(Е) при- нимают «физические» значения (т. е. равны целым числам / = 0, 1, 2,...), отвечают дискретным уровням энергии системы. От- метим, что таким образом возникает новый классификационный принцип для связанных состояний: по траекториям Редже, на которых они лежат. В качестве примера рассмотрим траектории Редже для дви- жения в кулоновом поле притяжения. Элементы матрицы рассе- яния даются в этом случае выражениемг) Ь1 = TVI ¦ 1 ¦ -/М A41.10) г) Ср. формулу A35.11), в которой (для перехода от случая отталкивания к случаю притяжения) надо изменить знаки перед к. 712 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII (к—в кулоновых единицах). Его полюсы лежат в точках, где аргумент функции Г(/ + 1 — г/к) равен целому отрицательному числу или нулю. При Е < 0 имеем к = i\/—2E, так что а(Е) = -пг-1 + —= , Е < 0, A41.11) у —2Е где пг = 0, 1, 2,... —число, нумерующее траектории Редже. При- равняв а(Е) целому числу / = 0,1,2,..., получим известную формулу Бора для дискретных уровней энергии в кулоновом по- ле Е= 1 2( Число пг оказывается при этом совпадающим с радиальным квантовым числом, определяющим число узлов радиальной вол- новой функции. Каждой траектории Редже (т. е. каждому за- данному значению пг) отвечает бесконечное множество уровней, отличающихся значением орбитального момента. Обратимся к свойствам функций а(Е) при Е > 0. Напом- ним (см. §128), что функции АA,Е) и ВA,Е) в A41.1) как функции комплексной переменной Е определены на плоскости с разрезом на правой вещественной полуоси. Соответственно такой же разрез имеют и функции / = а (Е) — корни уравнения ВA,Е) = 0. На верхнем и нижнем краях разреза а(Е) имеют комплексно сопряженные значения; при этом на верхнем краю Im a > 0. Не останавливаясь на формальном доказательстве этого утверждения, приведем более физичные соображения, по- ясняющие его происхождение. При комплексном / становится комплексной также и центро- бежная энергия, а с нею и эффективная потенциальная энергия Ui = U + 1A + l)/Bmr2). Повторив изложенный в § 19 вывод, получим теперь вместо A9.6) При / = a, Im а > 0 имеем также и Im U\ > 0; тогда вы- ражение в правой части равенства положительно, что означа- ет как бы испускание новых частиц в объеме поля. Соответ- ственно асимптотическое выражение волновой функции (со- держащее при В = 0 лишь первый из двух членов в A41.1)) должно представлять собой расходящуюся волну; именно это имеет место на верхнем краю разреза—ср. переход от A28.1) к A28.3). Поскольку при Е > 0 функции а(Е) комплексны, они не могут принимать здесь своих «физических» значений / = 0, 1, § 141 ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ 713 2, ... Они могут, однако, оказаться близкими (в плоскости ком- плексного /) к таким значениям. Покажем, что в таком случае в парциальной амплитуде рассеяния (соответствующей данному целому значению /) возникает резонанс. Пусть /q —целое значение, к которому близка функция а(Е). Пусть, далее, Eq — такое (вещественное положительное) значе- ние энергии, для которого Re ql(Eq) = Iq. Тогда вблизи этого значения имеем а(Е) « /0 + щ + Р(Е - So), A41.12) где rj = Im a(?o) — вещественная постоянная. Будем рассмат- ривать значения а(Е) на верхнем краю разреза; согласно ска- занному выше тогда rj > 0 (причем, по предположению о бли- зости а к /q, rj <С 1). Легко видеть, что и постоянную /3 (т.е. производную da/dE при Е = Eq) можно считать веществен- ной положительной величиной. Действительно, поскольку а(Е) почти вещественна, то почти вещественна и волновая функция х(г; а, Е). Пренебрегая величинами высших порядков малости по ту, можно пренебречь мнимой частью %, тогда положитель- ность /3 следует из положительности интегралов в соотношении A41.9I). Поскольку значение / = а(Е) является нулем функции ВA,Е), то вблизи точки a, Eq эта функция пропорциональна а — 1. С уче- том A41.12) имеем поэтому Б(/о, Е) « const • [а(Е - Eq) + if]]. A41.13) Но это выражение по форме как раз совпадает с A34.6), при- чем Eq оказывается энергией, а Г = 2rj/a > 0 — шириной квази- дискретного уровня. Таким образом, близость траектории Редже х)Для уяснения структуры этих интегралов отметим, что асимптотиче- ская область г ^> а (а — радиус действия поля), где справедливо выраже- ние A41.1) для волновой функции, вносит лишь малый вклад в интегра- лы, если г] мало. Действительно, если / = а(Е)—нуль функции ВA,Е), то (в силу A41.5)) / = а*—нуль функции АA,Е). Поэтому А(а,Е) (а тем самым и %(r; a, E) в области г ^> а) оказываются малыми величина- ми ~ г]1'2 (см. A34.11)). При оценке интегралов существенно также, что на верхнем краю разреза (по Е) волновая функция содержит множитель егкг: x(r\ot,E) = А(а, Е)егкг. На этом краю можно понимать Е как Е -\- iS (где S —>> +0), тогда и к получает малую положительную мнимую часть, чем обеспечивается сходимость интегралов в A41.9). Физически малость вкла- да в интегралы от области г ^> а связана с тем, что энергия Eq отвечает квазистационарному состоянию (см. ниже); поэтому частица попадает в эту область лишь в результате маловероятного распада состояния. Основной же вклад в интегралы возникает от области г ~ а, в которой волновая функция почти вещественна. 714 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII (при Е > 0) к целым значениям / отвечает квазистационарным состояниям системы. Тем самым для этих состояний возникает тот же классификационный принцип, что и для строго стаци- онарных состояний; каждой траектории Редже может отвечать целое семейство дискретных и квазидискретных уровней. Рассмотрение / как комплексной переменной позволяет полу- чить полезное интегральное представление для полной амплиту- ды рассеяния (при Е > 0), даваемой рядом A23.11) 'Е) ~1]P/(/i)' м = cos^ A4L14) Для этого надо прежде всего определить функции P/(/i) не только при целых / ^ 0, но и при комплексных значениях /. Это можно сделать, понимая под P/(/i) решение уравнения (с.2) A - /хJР/'Ы - 2/iP/(/i) + 1A + 1)P,M = 0 A41.15) с граничным условием Р/A) = 1. Определенная таким образом P/(/i) как функция / не имеет особенностей при конечных значе- ниях этой переменнойг). Легко видеть, что ряд A41.14) совпадает с интегралом /Ы = ^/^И^) - 1№(-м)Л, A41.16) с взятым по пути С, обходящему в отрицательном направлении (по часовой стрелке) все точки / = 0, 1, 2, ... на вещественной оси, и замыкающимся на бесконечности: -1/2V 0 12 3 4 ** о При этом все полюсы / = а±, «2,... функции S(l, E) (распо- лож:енные при Е > 0 не на вещественной оси) должны оставаться снаружи от контура С. Действительно, интеграл A41.16) сводится к (умноженной на —2тгг) сумме вычетов подынтегрального выражения в точ- ках / = 0, 1, 2, ... — полюсах функции I/shitt/, причем выче- 1) Путем сравнения A41.15) с уравнением (е.2), молено выразить рез гипергеометрическую функцию § 141 ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ 715 ты самой этой функции равны (—1)г/тг. Заметив также, что при целых /i: P/(-/i) = (-l)zPz(/i), сведем A41.16) к A41.14)х).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Полюсы Редже» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
