Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается на- личие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его помощью результаты. Дело в том, что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спи- нов х). Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие маг- нитного поля) не содержит операторов спина и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные. Поэтому уравнению Шредингера удо- влетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения , СГ2, . . . )<р(гЬ Г2, • • • ), где функция (р зависит только от координат частиц, а функ- ция х—только от их спинов; о первой будем говорить как о координатной или орбитальной, а о второй — как о спиновой волновой функции. Уравнение Шредингера определяет по существу только ко- ординатную функцию (/?, оставляя функцию % произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функ- цию, что и делалось в предыдущих главах. Однако оказывается, что, несмотря на указанную незави- симость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы от ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц. Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы най- дем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координат- ная волновая функция <^(гх,Г2). Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отно- шению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат Гх и г 2 функция <р(гх,Г2) может 1) Это справедливо лишь постольку, поскольку речь идет о нерелятивист- ском приближении. При учете релятивистских эффектов взаимодействие заряженных частиц оказывается зависящим от спина. 286 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX измениться только на постоянный множитель; производя лее пе- рестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только ±1г). Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спи- новый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и вол- новая функция сводится к одной лишь координатной функции (/?(гх,Г2), которая должна быть симметричной (поскольку ча- стицы со спином нуль подчиняются статистике Бозе). Таким образом, не все из уровней энергии, получающихся при фор- мальном решении уравнения Шредингера, могут в действитель- ности осуществляться; те из них, которым соответствуют ан- тисимметричные функции (р, для рассматриваемой системы не- возможны. Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна опера- ции инверсии системы координат (начало которой выбрано посе- редине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция <р должна умножиться на (—±У, где I— орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см. §30). Сопоставляя эти соображения со сказан- ным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одина- ковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом. Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином 1/2 (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция систе- мы (т.е. произведение функции y?(ri,r2) и спиновой функции x{(Ji->(J2)) должна быть непременно антисимметричной по отно- шению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции спиновая функция должна быть анти- симметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т. е. в виде спинора второго ранга х ? каж- дый из индексов которого соответствует спину одного из элек- тронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соот- ветствует симметричный спинор (х^ — Х^Л)? а антисимметрич- ной—антисимметричный спинор (хЛ/х = —хмЛ)- Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антисимметричный спинор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину. Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения уравнения Шредингера, могут фактически осуществ- 1) При наличии же вырождения можно всегда выбрать такие линейные комбинации функций, относящихся к данному уровню, которые тоже удо- влетворяют этому условию. } 62 ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 287 ляться при равном нулю полном спине системы, т. е. когда спины обоих электронов «антипараллельны», давая в сумме нуль. Зна- чения же энергии, связанные с антисимметричными функция- ми <p(ti, Г2), требуют равного единице полного спина, т. е. спины обоих электронов должны быть «параллельными». Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном вза- имодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаи- модействие называют обменным. Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как и самый спин) при предельном переходе к классической механике. Для разобранного нами случая системы двух электронов характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энер- гии соответствует одно определенное значение полного спина: О или 1. Такое однозначное соответствие значений спина уровням энергии сохраняется, как мы увидим ниже (§63), и в системах из произвольного числа электронов. Оно, однако, не имеет места для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2. Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным спи- ном s. Ее спиновая волновая функция есть спинор ранга 4s: X половина Bs) индексов которого соответствует спину одной, а другая половина— спину другой частицы. По индексам каж- дой из этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке обеих частиц соответствует перестановка всех индексов A, /i,... первой группы с индексами р, сг,... второй группы. Для того чтобы получить спиновую функцию состояния системы с пол- ным спином S, надо упростить этот спинор по 2s — S парам индексов (каждая пара содержит один индекс из A, /i,... и один из р, <т,...) и симметризовать по остальным; в результате полу- чится симметричный спинор ранга 2S. Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов озна- чает составление комбинации, антисимметричной по этим ин- дексам. Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая функция умножится на (—lJs~s. С другой стороны, полная волновая функция системы двух частиц при их перестановке должна умножаться на (—IJ5 (т.е. на +1 при целом s и на — 1 при полуцелом). Отсюда следует, что симметрия координатной волновой функции по отношению к пе- рестановке частиц определяется множителем (—1) , зависящим только от S. 288 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Таким образом, мы приходим к результату, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрич- на при четном и антисимметрична при нечетном полном спине. Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой ча- стиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при четном (нечетном) спине S система может обладать только чет- ным (нечетным) орбитальным моментом. Мы видим, что и здесь обнаруживается некоторая зависи- мость между возможными значениями энергии системы и полным спином, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энер- гии, которым соответствуют симметричные (антисимметричные) координатные волновые функции, могут осуществляться при всех четных (нечетных) значениях S. Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний си- стемы двух частиц с четными и нечетными значениями S. Вели- чина S пробегает 2 s + 1 значений: 2s,2s — l,...,0. Для каждого данного S имеется 2S + 1 состояний, отличающихся значени- ем ^-компоненты спина (всего Bs + IJ различных состояний). Пусть s —целое. Тогда среди 2s + 1 значений S есть s + 1 четных и s нечетных. Полное число состояний с четными S равно сумме 5=0,2,...,25 остальные sBs + 1) состояний обладают нечетными S. Подоб- ным же образом найдем, что при полуцелом s имеется sBs + 1) состояний с четными и (s + l)Bs + l) с нечетными значениями S.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обменное взаимодействие» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
уравнения Шредингера, могут фактически осуществ- 