В классической механике одинаковые частицы (скажем, элек- троны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют все же своей «индивидуальности»: можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент времени «перенумерованными» и в дальней- шем следить за движением каждой из них по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет иденти- фицировать. В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопре- деленности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их иденти- фикации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке про- странства, мы не сможем указать, какой именно из электро- нов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике оди- наковые частицы полностью теряют свою «идивидуальность». Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер — она приводит к их полной нераз- личимости. Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых ча- стиц играет основную роль в квантовой теории систем, состо- ящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга просто пере- становкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными. Это значит, что в результате такой переста- новки волновая функция системы может измениться только на 282 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX несущественный фазовый множитель. Пусть V*(?b?2)— волно- вая функция системы, причем ?i, ?2 условно обозначают сово- купности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть: где а — некоторая вещественная постоянная. В результате по- вторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, меж- ду тем как функция ф окажется умноженной на е2га. Отсюда следует, что е2га = 1 или ега = ±1. Итак, ^(^i,^2) = ±^(^2,^i)- Мы приходим к результату, что имеется всего две возможно- сти—волновая функция либо симметрична (т.е. совершенно не меняется в результате перестановки частиц), либо антисиммет- рична (т.е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что вол- новые функции всех состояний одной и той же системы долж- ны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волно- вая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни антисимметрична. Этот результат непосредственно обобщается на системы, со- стоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действи- тельно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметрич- ными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волно- вая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае — об антисимметричной волновой функции. Свойство описываться либо симметричны- ми, либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметрич- ными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми-Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся симметричными функциями, — как подчиняющихся статисти- ке Бозе-Эйнштейна или о бозонах1). х)Эта терминология связана с названием статистик, которыми описыва- ется идеальный газ, состоящий из частиц соответственно с антисимметрич- ными или симметричными волновыми функциями. В действительности мы имеем здесь дело не только с различными статистиками, но и по суще- ству с различными механиками. Статистика Ферми была предложена Ферми (Е. Fermi) для электронов в 1926 г., а ее связь с квантовой механикой была выяснена Дираком A926). Статистика Бозе была предложена Возе (S. Bose) для световых квантов и обобщена Эйнштейном A924). § 61 ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 283 Из законов релятивистской квантовой механики оказывается возможным показать (см. IV, § 25), что статистика, которой под- чиняются частицы, однозначно связана с их спином: частицы с полуцелым спином являются фермионами, а с целым спином — бозонами. Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действитель- но, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалент- на одновременной перестановке нескольких пар одинаковых эле- ментарных частиц. Перестановка бозонов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фермионов меняет ее знак. По- этому сложные частицы, содержащие нечетное число элементар- ных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число их, — статистике Бозе. Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: слож- ная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полуцелым спином. Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т. е. состо- ящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом — статистике Бозе. Для ато- мов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, стати- стика определяется, очевидно, четностью или нечетностью сум- мы атомного веса и атомного номера. Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть ^ь^2,... —волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять пе- речислением номеров состояний, в которых находятся отдель- ные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций V>i, V>2> • • • волновая функция ф всей системы в целом. Пусть pi,p2, • • • ,Ptv — номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинако- вые). Для системы бозонов волновая функция ^(^Ъ^? ..., ?/v) выражается суммой произведений вида <ЫЫЫЫ---<МЫ F1.1) со всеми возможными перестановками различных индексов pi,P2,---; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойст- вом симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных [р\ ф р2) состояниях: ± [ФР1 (ЫФпF) + ФР1 (ШР2(&)]• F1-2) 284 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Множитель 1/л/2 введен для нормировки (все функции ф\ •> Ф2 •> - • • взаимно ортогональны и предполагаются нормиро- ванными). В общем же случае системы произвольного числа частиц N нормированная волновая функция 4>NlN2... = (ЛГ1!^!!---)/Х)^(^)^(б)•••^(Ы, F1-3) где сумма берется по всем перестановкам различных из индек- сов pi,p2,...,PN, a числа Ni указывают, сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения г (при этом ^2Ni = TV). При интегрировании квадрата \ф2\ по d^\d^2 • • • d^jy1) обраща- ются в нуль все члены, за исключением только квадратов моду- лей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в сумме F1.3) равно, очевидно, N\/(N\\N2\...), то отсюда и полу- чается нормировочный коэффициент в F1.3). Для системы фермионов волновая функция ф есть антисим- метричная комбинация произведений F1.1). Так, для системы из двух частиц имеем </>F,6) = ^[ФрЛШрЛЬ) - ФрЛШрзШ F1.4) В общем же случае N частиц волновая функция системы запи- сывается в виде определителя <МЫ ФрЛЬ) ••• ФрЛЫ) Фр2^1) Фр2(Ь) ••• ФР2(€м) Фрм(Ь) ••• ФРм( F1.5) Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний ме- няет знак. Из выражения F1.5) следует важный результат: если среди номеров pi,p2,-«- есть два одинаковых, то две строки опреде- лителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится тождественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера ?>i,P2? • • • различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно нахо- диться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это —так называемый принцип Паули (W. Pauli, 1925).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Принцип неразличимости одинаковых частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
