Состояния, относящиеся к дискретному спектру энергии, ква- зиклассичны при больших значениях квантового числа п — по- рядкового номера состояния. Действительно, это число опреде- ляет число узлов собственной функции (см. §21). Но рассто- яние между соседними узлами совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны. При больших п это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения. Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное од- номерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область Ъ ^ х ^ а ограничена двумя точками пово- рота2) . г) Переход же в обратном направлении теряет смысл в том отношении, что уже небольшое изменение волновой функции справа в D7.5) может привести к появлению экспоненциально возрастающего члена в функции слева. ) В классической механике в таком поле частица совершала бы периоди- ческое движение с периодом (время движения от точки Ъ до а и обратно) р ъ ъ (у — скорость частицы). 216 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII Согласно правилу D7.5) граничное условие в точке х = Ъ приводит (в области справа от нее) к волновой функции Применив это же правило к области слева от точки х = а, полу- чим ту же волновую функцию в виде Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от тг: а - pdx = птг Н J 2 ъ (причем С = (-1)пС). Отсюда 1 / 7 .1 2' D8.2) V J a где интеграл §pdx = 2 f pdx взят по полному периоду клас- ь сического движения частицы. Это и есть условие, определяю- щее в квазиклассическом случае стационарные состояния части- цы. Оно соответствует правилу квантования Бора-Зоммерфель- да старой квантовой теории Величина / = — § pdx называется адиабатическим инвари- антом (см. I, §49), так что условие квантования D8.2) можно записать как 1(Е) = П(п+1/2). В §41 уже упоминалось, что при достаточно медленном, «адиабатическом», изменении параметров система остается в том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с некоторым п. Мы видим, что в квазиклассическом пределе это утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве адиабатического инварианта при медленном изменении парамет- ров. §48 ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА 217 Легко видеть, что целое число п равно числу нулей волновой функции, а потому есть порядковый номер стационарного со- стояния. Действительно, фаза волновой функции D8.1) растет от —тг/4 в точке х = Ъ до (п + 1/4)тг в точке х = а, так что косинус обращается в этом интервале в нуль п раз (вне интер- вала Ъ <С х <С а волновая функция затухает монотонно, не имея нулей на конечных расстояниях)х). Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае чис- ло п велико. Подчеркнем, однако, что сохранение члена 1/2 ря- дом с пв D8.2) тем не менее законно: учет следующих поправоч- ных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению в правой части выражения D8.2) лишь членов ~ A/L, малых по сравнению с 1 (см. замечание в конце § 46J). Для нормировки волновой функции достаточно интегриро- вать \ф\2 лишь в интервале Ъ ^ х ^ а, так как вне его ф(х) экспоненциально затухает. Поскольку аргумент косинуса в D8.1) есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точно- стью заменить квадрат косинуса его средним значением, т. е. 1/2. Тогда получим /' р(х) b dx тгС2 _ где и = 2тг/Г— частота классического периодического дви- жения. Таким образом, нормированная квазиклассическая функция Л. D8.3) Ъ Следует помнить, что частота ио — функция энергии и, вообще говоря, различна для разных уровней. Соотношение D8.2) можно истолковать еще и другим об- разом. Интеграл § pdx есть площадь, охватываемая замкнутой ) Строго говоря, подсчет числа нулей должен производиться с учетом точ- ного вида волновой функции вблизи точек поворота. Такое исследование подтверждает указанный результат. ) В некоторых случаях точное выражение для уровней энергии Е(п) (как функции квантового числа п), получающееся из точного уравнения Шре- дингера, таково, что при п —ь ею оно сохраняет свой вид; примерами явля- ются уровни энергии в кулоновом поле и уровни энергии гармонического осциллятора. Естественно, что в этих случаях правило квантования D8.2), применимое при больших п, дает для функции Е(п) выражение, совпадаю- щее с точным. 218 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плос- кости р,х — фазовом пространстве частицы). Разделив эту пло- щадь на клетки площадью 2тгН каждая, мы получим всего п клеток. Но п есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рас- сматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве пло- щадью 2тгН. Иначе, число состояний, отнесенное к элементу объ- ема АрАх фазового пространства, есть АрАх/BтгН). D8.4) Если ввести вместо импульса волновой вектор к = р/Н, то это число напишется, как А/сАж/2тг. Оно совпадает, как и следова- ло ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (см. II, §52). Исходя из правила квантования D8.2) можно выяснить об- щий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть АЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числа- ми п. Поскольку АЕ мало (при больших п) по сравнению с самой энергией уровней, то на основании D8.2) можно написать АЕ / ^- dx = 2тгН. J ®Е Но дЕ/др = г>, так что Поэтому получаем АЕ= —h=tuj. D8.5) Таким образом, расстояние между соседними уровнями ока- зывается равным Ни. Для целого ряда соседних уровней (раз- ность номеров п которых мала по сравнению с самими п) соот- ветствующие частоты ш можно приближенно считать одинако- выми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, через одинаковые интервалы Huj. Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазикласси- ческом случае частоты, соответствующие переходам между раз- личными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты ш. §48 ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА 219 Представляет интерес проследить, во что переходят в клас- сическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины /. Для этого исходим из того, что среднее значение / в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти просто в классическое значение этой величины, если только са- мо состояние в пределе дает движение частицы по определен- ной траектории. Такому состоянию соответствует волновой па- кет (см. §6), получающийся суперпозицией ряда стационарных состояний с близкими значениями энергии. Волновая функция такого состояния имеет вид где коэффициенты ап заметно отличны от нуля только в не- котором интервале An значений квантового числа п—таком, что 1 <С An <С п; числа п предполагаются большими соответ- ственно квазиклассичности стационарных состояний. Среднее значение / равно, по определению, или, заменив суммирование по n, m суммированием по п и раз- ности s = т — п, получим J=S^S^a* о f eiujst J / ^ / ^ Tl-\-S TlJ Tl-\-S)Tl 5 n s где оотп = oos в соответствии с D8.5). Матричные элементы /mn, вычисленные с помощью квази- классических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности т — п, являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа п (при заданном т — п). Ввиду этого приближенно можно написать 7 = J2Y1 <anfseiujst = Y^ ki2 n s n где введено обозначение f — f — i - Js — Jn-\-s,n-) а п— некоторое среднее значение квантового числа в интерва- ле An. Но ^2п \ап\2 = 1; поэтому 220 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Посколь- ку / должно в пределе совпадать с классической величиной /(?), то мы приходим к результату, что матричные элементы fmn в пределе переходят в компоненты /m_n разложения классической функции f(t) в ряд Фурье. Аналогично, матричные элементы для переходов между со- стояниями непрерывного спектра переходят в компоненты раз- ложения f(t) в интеграл Фурье. При этом волновые функции стационарных состояний должны быть нормированы на #-функ- цию от энергии, деленной на Н. Все изложенные результаты непосредственно обобщаются на системы со многими степенями свободы, совершающие фи- нитное движение, для которого механическая (классическая) за- дача допускает полное разделение переменных в методе Гамиль- тона-Якоби (так называемое условно-периодическое движение, см. I, §52). После разделения переменных для каждой степени свободы задача сводится к одномерной и соответствующие усло- вия квантования имеют вид +~H), D8.6) где интеграл берется по периоду изменения обобщенной коорди- наты qi а 7г — число порядка единицы, зависящее от характера граничных условий для данной степени свободых). В общем случае произвольного (не условно-периодическо- го) многомерного движения формулировка квазиклассических условий квантования требует более глубоких рассуждений2). Понятие же о «клетках» в фазовом пространстве применимо (в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом ви- де. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собствен- ных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства. В общем случае системы с s степенями свободы на элемент х) Так, для движения в центрально-симметричном поле / ( 1\ (р pr dr = 2тгН 1пг-\— I, Г ( \\ С Ф ре dO = 2тгН ( I — m -\— 1, Ф р^ dtp = 2тгНт J \ 2 / J (где пг = п — I — 1— радиальное квантовое число). Последнее равен- ство связано просто с тем, что р^ есть ^-компонента момента, равная Нт. 2) См. J. В. Keller// Ann. Phys. 1958. V. 4. P. 180. §49 ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА 221 объема фазового пространства приходится AN = Agi-Ag,APl...Ap, D8>7) квантовых состоянийх).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Правило квантования Бора—Зоммерфельда» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
