Вид волнового уравнения физической системы определяет- ся ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундамен- тальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики. Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изо- тропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратич- ной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где постоянная т называется массой частицы (см. I, § 4). В кван- товой механике те лее требования приводят к такому же соот- ношению для собственных значений энергии и импульса — одно- временно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин. Но для того чтобы соотношение Е = р2 /2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов: y A7.1) Подставив сюда A5.2), получим гамильтониан свободно движу- щейся частицы в виде Н = -^-А, A7.2) где А = д2 /дх2 + д2 /ду2 + д2 /dz2 — оператор Лапласа. Гамиль- тониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме га- мильтонианов каждой из них: где индекс а нумерует частицы; Аа —оператор Лапласа, в кото- ром дифференцирование производится по координатам а-й ча- стицы. § 17 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 75 В классической (нерелятивистской) механике взаимо- действие частиц описывается аддитивным членом в функ- ции Гамильтона— потенциальной энергией взаимодействия C/(ri, Г2,...), являющейся функцией координат частиц. Прибав- лением такой же функции к гамильтониану системы описывает- ся и взаимодействие частиц в квантовой механикег): та первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, второй — как оператор потенциальной энергии. В част- ности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внеш- нем поле, Н = f- + U(x, у, z) = -?-А + U(x, у, z), A7.5) Zm Zm где U(x, у, z)— потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Подстановка выражений A7.2)—A7.5) в общее уравнение (8.1) дает волновые уравнения для соответствующих систем. Выпи- шем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле iH— = -—АФ + U(x, у, г)Ф. A7.6) (JL ZTYI Уравнение же A0.2), определяющее стационарные состояния, принимает вид Jf-AiP + [E-U{x,y,z)]iP = O. A7.7) Уравнения A7.6), A7.7) были установлены Шредингером в 1926 г. и называются уравнениями Шредингера. Для свободной частицы уравнение A7.7) имеет вид —Аф + Еф = 0. A7.8) 2га Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии Е. Для состоя- ний с определенными направлениями движения этими решения- ми являются собственные функции оператора импульса, причем 1)Это утверждение не является, конечно, логическим следствием основ- ных принципов квантовой механики и должно рассматриваться как след- ствие опытных данных. 76 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III Е = р2 /2т. Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид Ф = const-exp(--(Et-pr)\ A7.9) Каждая такая функция— плоская волна— описывает состоя- ние, в котором частица обладает определенными энергией Е и импульсом р. Частота этой волны равна Е/Н, а ее волновой вектор к = р/Н\ соответствующую длину волны Л = 2тгН/р на- зывают дебройлевской длиной волны частицы1). Энергетический спектр свободно движущейся частицы ока- зывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля до +ос. Каждое из этих собственных значений (за исключени- ем только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение — бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собствен- ных функций A7.9), отличающихся направлениями вектора р при одинаковой его абсолютной величине. Проследим, каким образом происходит в уравнении Шредин- гера предельный переход к классической механике, рассматри- вая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подста- вив в уравнение Шредингера A7.6) предельное выражение F.1) волновой функции Ф = aelS/n, получим, произведя дифференци- рования, а гН | (VSj aAS VSVa Аа + Ua = 0. dt dt 2mv ' 2m m 2m В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомним, что S и а вещественны); приравнивая те и другие в отдельности нулю, получим два уравнения: Ё1 + J_(VSJ + U - —Аа = 0, dt 2my ' 2ma dt 2m Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержа- щим Н , получим f + ^(VSJ + t/ = 0, A7.10) т. е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона -Яко- би для действия S частицы. Мы видим, кстати, что при Н —>• 0 ) Понятие о волне, связанной с частицей, было впервые введено деБройлем (L. deBroglie) в 1924 г. § 18 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 77 классическая механика справедлива с точностью до величин пер- вого (а не нулевого) порядка по h включительно. Второе из полученных уравнений после умножения на 2а мо- жет быть переписано в виде Ь drv а — = 0. A7.11) dt V т ) у J Это уравнение имеет наглядный физический смысл: а2 есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства (|Ф|2 = a2); VS/m = р/га есть классическая скорость v частицы. Поэтому уравнение A7.11) есть не что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность ве- роятности «перемещается» по законам классической механики с классической скоростью v в каждой точке.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Шредингера» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
