Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы / = /i cos cot + /2 sin cut, C0.1) меняющейся со временем с большой частотой ш (/i, /2 — функ- ции только координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворяющую условию ш ^> 1/Г, где Г — поря- док величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила / не предполага- ется слабой по сравнению с силами, действующими в поле U. § 30 ДВИЖЕНИЕ В БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ ПОЛЕ 125 Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ?,). Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда уравнение движения частицы х) тх = -% + /. C0.2) Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми ос- цилляциями (с частотой си) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t) в виде суммы ж(?) = Х(?)+ ?,(?), C0.3) где x(t) представляет собой указанные малые осцилляции. Среднее значение функции x(t) за время ее периода 2п/а) об- ращается в нуль, функция же X(t) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем: х = X(t), т.е. функция X(t) описывает усредненное по быстрым осцилляциям «плавное» движение частицы. Выведем уравне- ние, определяющее эту функцию 2). Подставляя C0.3) в C0.2) и разлагая по степеням ?, с точно- стью до членов первого порядка, получим В этом уравнении фигурируют члены различного характера — осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать mi = f(X,t), C0.5) остальные содержат малый множитель ?, и потому малы по срав- нению с написанными (что касается производной ?, , то она про- порциональна большой величине си2 и потому не мала). Инте- грируя уравнение C0.5) с функцией / из C0.1) (при этом вели- чина X рассматривается как постоянная), получим х) Координата х — не обязательно декартова, а коэффициент т соответ- ственно не обязательно есть масса частицы и не обязательно постоянен, как это предположено в C0.2). Такое предположение, однако, не отражается на окончательном результате (см. ниже). 2) Идея излагаемого ниже метода принадлежит П. Л. Капице A951). 126 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V ?,= f—. C0.6) таJ v ' Усредним теперь уравнение C0.4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней / и ?, обращаются в нуль, получим уравнение Ш dX + КдХ ~ dX dX ^8X dX muo2j OX' содержащее уже только функцию X(t). Перепишем его оконча- тельно в виде тХ = -Щ^-> C0.7) где «эффективная потенциальная энергия» определяется сле- дующим образом х): ЭСР 2таJ 4mcu2 J2J' \ ) Сравнивая это выражение с C0.6), легко видеть, что дополни- тельный (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения: Е/эф = Е7+у?,2. C0.9) Таким образом, усредненное по осцилляциям движение ча- стицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля С/, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратич- но зависящее от амплитуды переменного поля. Полученный результат может быть легко обобщен на слу- чай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами q{. Для эффективной потенциаль- ной энергии получается (вместо C0.8)) выражение г, к i,k где величины а^,1 (вообще говоря, — функции координат) — эле- менты матрицы, обратной матрице коэффициентов а^ в кине- тической энергии системы (см. E.5)).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в быстро осциллирующем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
