Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в § 22 рассмотрению коле- баний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представ- ляющем самостоятельный интерес случае периодической выну- ждающей силы. Прибавив в правой части уравнения B5.1) внешнюю силу /cosyt и разделив на га, получим уравнение движения в виде х + 2\х + <х>1х = ?- cosyt. B6.1) 777/ Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части eiyt вместо cosyt: х + 2Хх + cvZx = ЫУК и т Частный интеграл ищем в виде х = Beiyt и находим для В: В = (Ж2) Представив В в виде Ьег6, имеем для Ъ и 6: 6= 7 =, tgS^-^Ц. B6.3) Наконец, отделив вещественную часть от выражения ВегуЬ = — ?ег(У*+&)? получим частный интеграл уравнения B6.1), а при- бавив к нему общее решение уравнения без правой части (ко- торое мы напишем для определенности для случая cuq > A), получим окончательно: х = ае~м cos (cut + ос) + bcos (yt + 6). B6.4) Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член: 26 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 105 x = bcos(yt + b). B6.5) Выражение B6.3) для амплитуды Ъ вынужденного колеба- ния хотя и возрастает при приближении частоты у к Шо, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсут- ствие трения. При заданной амплитуде силы / амплитуда коле- бания максимальна при частоте у = v/cUq ~~ 2А2; при А ^С Шо это значение отличается от си о лишь на величину второго порядка малости. Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим у = Шо + ?, где ? — малая величина; будем также считать, что Л <С too- Тогда в B6.2) можно приближенно заменить: у2 - ш§ = (у + сио)(у - u>o) ~ 2шО?, 2гЛу « 2гЛш0, так что ИЛИ B6.7) Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз 6 между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т.е. ко- лебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны у < Шо , 6 стремится к нулю, а со сто- роны у > Шо — к значению —п. Изменение 6 от нуля до — 7Г происходит в узкой (ширины rsj Л) области частот, близких к Шо; через значение — п/2 разность фаз проходит при у = со о. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фа- зы вынужденного колебания на величину п происходит скачком при у = Шо (второй член в B2.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок. При установившемся движении, когда система совершает вы- нужденные колебания B6.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внеш- ней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим через /(у) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно B5.13) имеем = 2F, 106 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение B5.11) дисси- пативной функции сводится к F = осх^/2 = XmiP1. Подставив сюда B6.5), получим F = \тЪ2у2 sin2(y? + 6). Среднее по времени значение квадрата синуса равно 1/2, поэтому /(у) = ЛтЬ2у2. B6.8) Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из B6.7), имеем х2 B6.9) Am + Л2 Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 31) на- зывают значение |е|, при котором величина /(е) уменьшается вдвое по сравнению с ее макси- мальным значением при ? = 0. Из формулы B6.9) видно, что в данном случае эта ширина совпа- дает с показателем затухания Л. Высота же максимума Рис. 31 обратно пропорциональна Л. Та- ким образом, при уменьшении показателя затухания резонанс- ная кривая становится уже и выше, т.е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом f I(y)dy= Поскольку 1(е) быстро убывает при увеличении |е|, так что область больших |е| все равно не существенна, можно при инте- грировании писать 7(е) в виде B6.9), а нижний предел заменить на —ос. Тогда dt _ nf_ ?2 + Л2 ~~ 4т B6.10)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вынужденные колебания при наличии трения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
