При движении механической системы 2s величин щ и сц {% = 1,2, ..., s), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зави- сящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой ме- ханической системы с s степенями свободы равно 25 — 1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2 s произвольных постоянных (см. с. 12). Поскольку уравнения движения замкнутой систе- мы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитив- ной постоянной to во времени. Исключив t + to из 2s функций Qi = Qi(t + to, С\,Съ, • • •, C^s-i), Qi = Qi(t + to, Cl, C2, • • • , C2s-l), мы выразим 25 — 1 произвольных постоянных Ci, С2, • • •, С25-1 в виде функций от g и д, которые и будут интегралами движения. Однако далеко не все интегралы движения играют одина- ково важную роль в механике. Среди них есть несколько, по- стоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, свя- занное с основными свойствами пространства и времени — их однородностью и изотропией. Все эти, как говорят, сохраняю- щиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности — их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Именно свойство аддитивности придает соответствующим величинам особенно важную механическую роль. Предположим, § 6 ЭНЕРГИЯ 25 например, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку как до, так и после взаимодействия каж- дый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до вза- имодействия известны. Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с одно- родностью времени. В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производ- ная функции Лагранжа по времени может быть записана сле- дующим образом: dL (если бы L зависела явно от времени, к правой части равен- ства добавился бы член dL/dt). Заменяя производные dL/dqi, л d dL согласно уравнениям Дагранжа, на —-—, получим dt dqi dL _ v^ • d dL , v^ dL .. v^ d f dL , ~dt ~ или Отсюда видно, что величина >g-L F.1) g г остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. яв- ляется одним из ее интегралов движения. Эта величина называ- ется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через которую она выражается, согласно F.1), линейным образом. Закон сохранения энергии справедлив не только для замкну- тых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т.е. не зависящем от времени) внешнем поле; единственное использо- ванное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа — отсутствие явной зависимости от времени — имеется и в этом случае. Механические системы, энергия которых сохраняется, иногда называют консервативными. 26 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II Как мы видели в § 5, лагранжева функция замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы имеет вид L = T(q,q)-U(q), где Г — квадратичная функция скоростей. Применяя к ней из- вестную теорему Эйлера об однородных функциях, получим г г Подставляя это значение в F.1), найдем E = T(q,q) + U(q); F.2) в декартовых координатах 2)...). F.3) Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, за- висящей только от координат частиц.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Энергия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
