Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмот- рим сначала простейший случай — свободное движение мате- риальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительно- сти Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К1 с бесконечно малой скоростью е, то v' = v + e. Так как уравнения движе- ния во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа L(v2) должна при таком преобразовании перейти в функцию I/, которая если и отличается от L(v2), то г) Оно не справедливо в механике теории относительности. § 4 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 17 лишь на полную производную от функции координат и времени (см. конец § 2). Имеем L1 = L(vf2) = L(v2 + 2vi+i2). Разлагая это выражение в ряд по степеням е и пренебрегая бес- конечно малыми высших порядков, получаем Второй член первой части этого равенства будет полной про- изводной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому dL/dv2 от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо про- порциональна квадрату скорости: L777- 9 / л -1 \ где т — постоянная. Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что функ- ция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конеч- ной скорости V системы отсчета К относительно К1. Действи- тельно, J] = —yf = — (V + VJ = — v2 + 2—1 2 2 ^ о или Второй член является полной производной и может быть опущен. Величина т называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невза- имодействующих точек имеем г) Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено в § 2, всегда можно умножить функцию Ла- гранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнени- г) В качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем пользо- ваться первыми буквами латинского алфавита, а для индексов, нумерую- щих координаты, используем буквы г, к, /,... 18 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I ях движения. Для функции D.2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс раз- личных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными. Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для дей- ствительного движения материальной точки из точки 1 про- странства в точку 2 интеграл /mv2 ~2~ dt 1 имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для тра- екторий, по которым частица сначала быстро удаляется от i, a затем быстро приближается к #, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицатель- ные значения, т.е. не имел бы минимума 1). Полезно заметить, что •"-(§)'-?• <4-3> Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно най- ти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат. В декартовых координатах, например, dl2 = dx2 + dy2 + dz2, и, следовательно, г — —(т2 _|_ ?/2 + f2V (А А) в цилиндрических dl2 = dr2 + r2dq>2 + dz2 и в сферических dl2 = dr2 + r2dQ2 + r2 sin2 Qd(p2 и L=^(r2 + r262 + r2 sin2 6ф2). D.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функция Лагранжа свободной материальной точки» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
