Для изучения реальных энергетических зон и запрещенных зон в реальных трехмерных твердых телах [для которых точные решения уравнения (3.111) часто невозможно получить] очень много может дать рассмотрение одномерных моделей. В одной из таких моделей, предложенной Кронигом и Пенни42, используются простые прямоугольные потенциальные барьеры, изображенные на рис. 3.25. Тогда вид зависимости энергии от волнового вектора определяется шириной b и высотой То этих барьеров. В пределе бесконечно малого произведения ЬТо электроны любой энергии движутся совершенно свободно и обладают тем же законом дисперсии (3.127), что и свободные электроны. В противоположном предельном случае столь широких барьеров, что для электронов с энергией, меньшей То, вероятность туннелирования из одного атомного узла в соседний равна нулю, оказываются возможны только значения энергии е/ = яаД2/2/2таа, /=1, 2, 3, ... , (3.129) пока 8j остается меньше То. Формула (3.129) представляет собой стандартный квантовомеханический результат для энергии частицы в одномерном ящике ширины а. 40 Tamm /.— J. Physik, 76, 849 (1932). См.: Davison S. G., Levine J. D. Solid State Physics, v. 25, Academic Press, 1970, p. 1. 41 Frankl D. R. Electrical Properties of Semiconductor Surfaces, Perga- mon, 1967. « Kronlg Д. de L., Penney W. G.— Ртос. Roy. Soc, A130, 499 (1930). ЗА. Зонная теория твердых тел 259 Рис. 3.25. Одномерная периодическая потенциальная энергия электрона, принятая в модели Кронига — Пенни. Перейдем теперь к случаю больших Уо> однако Ь, достаточно малых, чтобы существовала конечная вероятность того, что электрон с энергией, меньшей То, протуннелирует из одной ячейки в следующую. Крониг и Пенни проанализировали эту промежуточную ситуацию, потребовав, чтобы волновые функции в темных и светлых областях на рис. 3.25 совпадали на границах областей. Подробное решение этой задачи приводится во многих элементарных учебниках квантовой механики. Особенно простую форму оно принимает в предельном случае очень высоких, но очень узких барьеров, когда произведение ЬУ0 остается конечным. Тогда волновой вектор k и энергия е связаны соотношением cos(fefl) = cos(aa) + P [ "^^ ] • (3.130) где а выражается через энергию следующим образом: a = [2me//i2]1/2> (3.131) а величина Р есть мера непроницаемости барьеров: р = Нт [(ЬТ0) mafh2]. (3.132) г°ь-о В пределе Р->-0 получаем a=k, т. е. дисперсионное соотношение (3.127) для свободных электронов. В пределе Р-+оо получаем набор энергий, даваемых формулой (3.129). Однако решение уравнения (3.130) для конечного Р приводит к чередованию областей энергии с вещественным и мнимым k. Величина k должна быть мнимой, когда абсолютная величина 260 Гл. 3. Электроны в металлах -ж/а „ О ж/а Приведенный йолнодой Вектор к Рис. 3.27. Представление приведенных зон для энергии как функции волнового вектора в модели Кронига — Пенни при Р=2 (как на рис. 3.26). Соответсгвующие кривые для Р=0 (свободные электроны) показаны штриховыми линиями. правой части уравнения (3.130) больше единицы, и вещественной, когда она меньше единицы. На рис. 3.26 изображена правая часть уравнения (3.130) как функция а для конечного значения параметра Р. Заметим, что для а=0 ордината равна (1 + Р), а когда а есть кратное величины (я/а), ордината равна ±1 независимо от значения Р. Зависящей от Р оказывается ширина интервалов а, для которых k должно быть мнимым, т. е. ширина запрещенных зон в нашей модели. Чередование разрешенных и запрещенных зон показано на рис. 3.27, изображающем зависимость энергии от приведенного волнового вектора (представление приведенных зон) для случая Р=2 (для которого построена зависимость на рис. 3.26). Для сравнения штриховыми кривыми изображена та же зависимость для совершенно свободных электронов (Р=0). Верхний энергетический предел для каждой разрешенной зоны в этой модели является одним из членов последовательности (3.129), однако нижний предел зависит от заданной величины Р. По мере увеличения Р каждая зона стягивается во все более узкий интервал энергий, а ширина запрещенной зоны увеличивается. ж/а 2ж/а Зж/а а=\2н7с/Я2У/г Рис. 3.26. Правая часть уравнения (3.130) для параметра Я=2, построенная как функция величины а, зависящей в модели Кронига — Пенни от энергии электрона. 3.4. Зонная теория твердых тел 261 Модель Кронига — Пенни чрезвычайно идеализирована, поскольку в ней рассматривается одномерный аналог твердого тела и используется искусственно простой потенциал. Тем не менее ее результаты очень поучительны. Они указывают на принципиальные стороны более сложных и реалистичных моделей. Одна из особенностей зон, изображенных на рис. 3.27, состоит в следующем: кривизна зависимости е(к) у дна и у потолка каждой зоны такова, что (d2e/dfe2)=7^=0, a (rfe/df^) =0. Эта особенность присуща всем более реалистическим моделям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель Кронига—Пенни» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
