Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Динаміка заряджених частинок

Поток частиц, ведущих центров и распределение плотности

Применяя оператор дивергенции к уравнению E.52)
и комбинируя получившийся результат с уравнением
непрерывности E.17), получаем [101]:
dt \ ЯВ* dt qB* Ч
+ -^r(fixfB).divu + ndiv(?xJr-/n^fx
X -w) + -J* div <* X div^) + nB Pi' V) (-it). <5-62>
где введена полная производная по времени, связанная
с массовым движением, dv/dt===d/dt+v-v, а выражение
для div v ц записано с учетом равенства divB = 0.
Прежде всего исследуем уравнение E.62) в нулевом порядке
по параметру е, пренебрегая давлением и инерционными
160
членами, а также предполагая выполненными условия,
необходимые для справедливости выражения E.55):
—j + (u]l +uF)-yn + ndivuF +
+ «S(VV)(^] =0. E.63)
Дрейф под действич^м внешних сил происходит со
скоростью uF, определенной уравнением C.23). В
частности, если отношение ^ц/# постоянно, то движение
плазмы вдоль магнитных силовых линий происходит без
изменения плотности. Предположим теперь, что поле
внешних сил F имеет скалярный потенциал, а магнитное
поле в плазме незначительно отличается от вакуумного
магнитного поля, которое изменяется в пространстве
значительно медленнее по сравнению с распределением
плотности. Это означает, что divaF = 0. Тогда из урав
нения E.63) следует, что в нулевом порядке по
параметру е распределение плотности п перемещается в
пространстве, не изменяя своего профиля, со скоростью
ведущих центров v ^ +uF, причем эта скорость совпадает
в нулевом приближении с гидродинамической. Этот же
результат можно получить из уравнения C.43), взяв от
него дивергенцию.
Теперь учтем эффекты первого порядка и
предположим, что выражение для тензора давления задается при
помощи соотношений E.21) и E.24). Используя
уравнение C.21), получаем
(В X v^-div^ {В X уД)- Vj. Р± -
-(Ръ~Р±)(ВХ^В)-Щ^- E.64)
Далее
5"X div к - В х vx Р± + (Р„ - Р±) В X
Х\(Ву)В]. E.65)
5 Б Ленерт
lei
Определим скорость
vB
+ 2*i -—5^ "т?Й +М X -W ¦ E'66)
При этом уравнение E.62) с точностью до членов
первого порядка по параметру е будет равно
+ -^r[2BXvB + (rotBJj.f/CJL+-?|rdiv{B^| -
-/(x)[^X?B + (rotBJj)--^-B/C|1-K±)(fiX^)X
Ыч)
Х(ВХ rot В) + nB(v{l • V) I -g-j = 0. E.67)
Здесь опять использовано уравнение C.21), а также
соотношения рн =2/г/Сц ир±=пК±-
В уравнении E.67) мы учли все члены первого
порядка по параметру е, которые определяют движение
поверхностей постоянной плотности. Рассмотрим прежде
всего выражение для скорости Un, приводящей к
конвективному переносу этих поверхностей. Если в
уравнении E.67) учитывать только два первых члена, то
распределение плотности будет перемещаться в
пространстве со скоростью Uny не изменяя своей формы. Заметим,
что скорость 0п содержит все дрейфы ведущего центра,
рассмотренные в разделе 1.1 гл. 3, включая также и те
дрейфы, которые связаны с градиентом магнитного поля.
Таким образом, поперечная часть скорости Un равна
средней дрейфовой скорости и±9 полученной из
уравнения C.22) с точностью до членов первого порядка и
усредненной по пространству скоростей. Далее, из
уравнения C.24) видно, что скорость дрейфа, связанная с
162
Градиентом магнитного поля, зависит от скоростей
частицы и и и W. Поэтому в отсутствие столкновений
частицы, расположенные в различных частях
пространства скоростей, будут дрейфовать с различными
скоростями. Это означает, что распределение частиц по
скоростям изменяется в пространстве и во времени из-за
неоднородности магнитного поля. Теперь учтем наличие
столкновений в реальной плазме и предположим, что
они приводят к установлению локального
термодинамического равновесия. Тогда полное распределение частиц
будет перемещаться в пространстве с дрейфовой
скоростью, усредненной при помощи равновесной функции
распределения частиц по скоростям.
Этот результат следует из выражений для третьего
и четвертого членов в формуле E.66) для скорости Un.
Четвертый и пятый члены в уравнении E.67)
содержат градиенты средних тепловых энергий /(ц и К± и
искажают распределение плотности, которое возникает
в системе координат, движущейся со скоростью
конвективного переноса Цп. Это легко понять исходя из
дрейфовой теории, так как пространственная неоднородность
величин К у и /е± вызывает соответствующую
неоднородность дрейфовой скорости C.24),
пропорциональной градиенту магнитного поля. Особый интерес
представляют эффекты, описываемые третьим членом в
уравнении E.67). Они приводят к тому, что скорость
движения поверхностей постоянной плотности отличается
как от средней скорости ведущих центров, так и от
средней массовой скорости. Причина состоит в том, что
при движении может происходить сжатие и разрежение
плазмы. В гл. 6 будут подробно рассмотрены эффекты
сжатия, связанные с отличием divuF от нуля. Эти
эффекты появляются в том случае, когда под действием
силового поля F частицы попадают в области, где
меняется величина магнитного поля. В третий член
уравнения E.67) вносят свой вклад также силы инерции,
которые приводят к дополнительной неоднородности
распределения частиц, а следовательно, и к
дополнительному сжатию или разрежению. Если продольная
скорость v,, мала, F = qE, и duEldt можно линеаризо-
6* 163
вать, то нетрудно убедиться, что вклад, связанный с
силами инерции, пропорционален величине (пт/В2) .
dt
Взяв дивергенцию от выражения B.2), легко показать,
что этот член можно интерпретировать как скорость
изменения электрического заряда в среде с
эквивалентной диэлектрической проницаемостью, найденной по
формуле C.51). Таким образом, под действием сил
инерции, которые по-разному действуют на электроны и
ионы, в плазме возникает электрическая поляризация.
Как было показано, поверхности постоянной
плотности движутся со скоростью, которая отличается как от
скорости ведущего центра и, так и от массовой
скорости v. Кроме того, из уравнений C.22), C.43), C.47),
E.53) и E.67) следует, что вообще имеется разница
между скоростями и и v. Проанализируем теперь более
тщательно это различие.
Средний поток пи± ведущих центров в формуле
C.22) отличается от среднего потока nv^ частиц в
формуле E.53) тем, что первый содержит скорость
дрейфа, пропорциональную градиенту магнитного поля, а в
последнем имеется член, пропорциональный градиенту
давления. Это различие можно объяснить тем, что не
у всех частиц, находящихся в данном элементарном
объеме, соответствующие ведущие центры находятся в
том же объеме, и наоборот. Чтобы перейти от потока
ведущих центров к потоку частиц, необходимо вычесть
поток тех ведущих центров, у которых соответствующие
им частицы расположены вне данного объема, и
добавить поток тех частиц, которые находятся внутри его, а
соответствующие им ведущие центры расположены вне
этого объема [12, 13]. Подобные вычисления приводят
к тем же результатам, что и уравнения C.47), C.49)
и E.53). Причины, по которым градиент давления
вызывает появление потока массы, легко понять из рис. 5.1, а.
Здесь предполагается, что тепловая энергия К± и
магнитное поле однородны и постоянны, а градиент
плотности направлен вдоль оси х и имеет положительный
знак. В этом случае дрейфовая скорость ведущих
центров равна нулю. Из рисунка видно, что через поверх-
164
ность 5, перпендикулярную оси у, снизу вверх проходит
значительно больше частиц, чем сверху вниз. Таким об-
Рис. 5.1. Связь между потоком ведущих центров и
потоком частиц через поверхность S, параллельную
направлению магнитного поля. Тепловая энергия частиц
считается постоянной:
а — градиент плотности в присутствии однородного магнитного
поля; б — частицы с постоянной плотностью в неоднородном
магнитном поле. Траектории частиц рассматриваются в системе
координат, движущейся со скоростью ведущего центра час-
—*¦
тицы ujj в — то же, что в случае б, но частицы
рассматриваются в лабораторной системе координат.
разом, градиент давления приводит к появлению
массовой скорости v, которая перпендикулярна магнитному
полю В и градиенту плотности у п.
165
На рис. 5.1,6 и в предполагается, что плотность п
и тепловая энергия /Cj_ постоянны, в то время как
магнитное поле имеет постоянный градиент v ^»
направленный вдоль оси х. Градиент магнитного поля вызывает
появление дрейфовой скорости и± = — Kjy^BxB/qB3,
направленной вдоль оси у. Из рис. 5.1,6 видно, что если
перейти в систему отсчета, движущуюся с этой
скоростью, то в этой системе частицы будут вращаться вокруг
своих ведущих центров, распределение которых
однородно в пространстве и не зависит от времени. В
определенной нами системе отсчета возникает отличный от
нуля полный поток частиц kv'±, проходящий через
поверхность 5 сверху вниз.
Используя выражение B.81) для радиуса вращения,
а также выражение C.24) для дрейфовой скорости,
пропорциональной градиенту магнитного поля, после
несложных геометрических рассуждений найдем, что
nv'±= — пи±. Все эти рассуждения основаны на том,
что величина напряженности магнитного поля В обратно
пропорциональна длине дуги, которая соответствует
углу 0в на рис. 5.1,6, а полный поток частиц в
произвольном направлении равен одной четвертой величины
средней тепловой скорости. Таким образом, если
перейти в лабораторную систему отсчета, то величина
массовой скорости v± равна нулю. В этом легко убедиться
также из рис. 5.1, в, где считается, что распределение
частиц в фазовом пространстве изотропно. В этом случае
вероятность найти в произвольной точке Р частицы, у
которых абсолютные величины скоростей равны, а
направления скоростей противоположны, совпадают друг
с другом. Очевидно, это справедливо для всех
абсолютных величин и направлений скоростей. Поток частиц не
зависит, конечно, от того, будут траектории частиц
искривляться магнитным полем или нет.
Приведенные на рис. 5.1,6 траектории частиц можно
также использовать для иллюстрации поведения газа с
постоянной плотностью, поперечная «тепловая» скорость
которого имеет постоянный градиент yW~ v (Т±У!'-
Если такой газ поместить в однородное магнитное поле.
166
то поперечная массовая скорость v± однозначно
определится градиентом температуры.
Рассмотрим другой предельный случай, когда
магнитное поле имеет постоянную величину В и искривлен-
но, как это показано на
рис. 5.2. Согласно
уравнениям C.20) и C.22), это
приводит к появлению
среднего дрейфа,
перпендикулярного плоскости рисунка
и равного по величине
2/С„
"х =
eBR
E.68)
где R— локальный радиус
кривизны магнитного поля.
Средняя величина потока
ведущих центров через
заштрихованную поверхность
равна при этом
ЧГ„
Рис. 5.2. Движение
заряженных частиц в магнитном поле
с радиусом кривизны R.
К и
; 2л0 (/?, — /?0 Ru^ = 4м9 (R2 — #х) -^- , E.69)
где (/?2 — /?i)//?<Cl. Этот поток направлен в плоскости
рисунка. Определим связанную с вращением W разность
потоков ведущих центров через границы R = R\ и /? = /?2
заштрихованной области на рис. 5.2:
Ww = —ru (Яя- RJaW =-2nQ (R2 - Rx) -^- ,E.70)
где a — радиус вращения. В изотропном случае, когда
существует тепловое равновесие К а. =2/Сц, мы получим
4rw = —^u- Таким образом, полный поток частиц через
границы заштрихованной области равен нулю. Этого и
следовало ожидать исходя из вида второго члена в
правой части уравнения E.53). Однако при наличии
анизотропии функции распределения в соответствии с тем же
уравнением полный поток частиц отличается от нуля.
В случае теплового равновесия из уравнений E.20),
E.53) и C.49) следует, что наличие градиента
абсолютной величины магнитного поля не приводит к появлению
массовой скорости. Как показали Каулинг [102] и Спит-
цер A3], это находится в полном соответствии с теоремой
167
Лиувилля E.2). Рассмотрим газ, состоящий из ионов
и электронов с равными и однородными плотностями и
с однородными и изотропными распределениями по
скоростям до. Поместим частицы в некоторую область,
ограниченную зеркально отражающими стенками.
Предположим далее, что начальная плотность частиц в фазовом
пространстве внутри указанного объема однородна, а
электрический пространственный заряд в начальном
состоянии равен нулю. Пренебрежем столкновениями
между частицами и будем считать, что магнитное поле
стационарно. Рассмотрим прежде всего частицы,
равномерно распределенные в области фазового пространства,
где абсолютная величина скорости заключена в узком
интервале между до и до+Адо. В соответствии с теоремой
Лиувилля плотность этих частиц в фазовом пространстве
остается постоянной вдоль произвольной траектории.
Единственная сила, которая действует на частицы
внутри выделенного объема, это сила qwXB, не
изменяющая абсолютной величины скорости до, а меняющая
лишь ее направление. Этот результат остается
справедливым и при наличии зеркально отражающих стенок.
Так как начальная величина плотности не зависит от
направления движения и однородна в- пространстве, то,
следовательно, плотность в фазовом пространстве
остается постоянной для всех более поздних моментов
времени. Очевидно, что частицы во всех других
интервалах Адо пространства скоростей будут вести себя
аналогично. Поэтому мы можем сделать вывод, что если в
начальном состоянии макроскопическая скорость
отсутствовала, то ее не будет и в последующие моменты
времени, независимо от того, есть или нет дрейфа
частиц, пропорционального градиенту магнитного поля.
При этом поток частиц, отражающихся от стенок, точно
компенсирует поток ведущих центров. Это согласуется
с выводами, которые были сделаны ранее Бором [103]
и Ван Леевеном [104].
Полученный результат нетрудно понять также
исходя из второго закона термодинамики, который
утверждает, что энтропия замкнутой системы не может
уменьшаться. Поэтому если система находится в состоянии
термодинамического равновесия, то она не может пе-
№
рейти в другое состояние, в котором массовая скорость
отлична от нуля. При наличии столкновений в качестве
начального состояния можно выбрать максвелловское
распределение по скоростям. Если газ находится в
термодинамическом равновесии со стенками, то из второго
закона термодинамики следует, что начальное
распределение не изменится и макроскопические скорости будут
отсутствовать для всех более поздних моментов времени.
В заключение сделаем несколько замечаний, которые
касаются членов второго порядка по параметру е в
выражении для силы F, определяемой формулой C.40).
Наличие этих членов приводит к тому, что скорость
дрейфа uF под действием внешних сил будет отличаться
от скорости дрейфа в нулевом приближении FcXB/qB2,
где Fc — величина силы в точке ведущего центра.
Прежде всего необходимо выяснить, приводит ли ларморов-
ское движение частиц к изменению средней силы F,
которая действует на плазму. Гидродинамическое
уравнение движения E.20) не дает ответа на этот вопрос.
В дальнейшем приведем простой пример, указывающий
на то, что член 74#2 Vj_ F в формуле C.40) точно
сокращается с разностью сил, действующих на частицы, и
некоторых дополнительных сил, которые действуют на
ведущие центры.
На рис. 5.3 показан плоский слой плазмы,
неограниченно простирающийся вдоль осей х и z и имеющий
вдоль оси у толщину 2а. Этот слой помещен в
однородное магнитное поле, направленное вдоль оси г.
Предположим, что поле сил F имеет одну компоненту
и зависит только от координат у. Считая F=Fy,
разложим F в ряд Тейлора по координате у вблизи начала
отсчета #=0
^fo + ^7 [{Ус+а cos е) ~t] F°> Eв71)
где ус — координата ведущего центра по оси у, а
индекс 0 указывает, что величина F и все ее производные
взяты в начале координат. Если вращением частицы
169
вокруг ус можно пренебречь, то выражение для силы
принимает следующий вид
Fc = Fa +
Si('c
dy
)V„.
E.72)
<ГГГ
/Ч/л.
) \ (
1
©6
^4
% J '
z у
¦-&%)J
Средняя величина этой силы в полосе шириной 2а с
точностью до членов второго порядка равна
У €Fc>=F0 + ^-a^.
6 dy2
E.73)
При учете вращения
частиц следует помнить, что
сила F действует на частицы
только в течение того
времени, когда они
действительно находятся внутри
рассматриваемой полосы.
Отсюда следует, что при
движении частицы по той
части траектории, которая
показана на рис. 5.3
пунктиром, взаимодействие этой
частицы с частицами в
области указанной полосы
отсутствует. Среднюю реличи-
ну F получают при этом интегрированием выражения
E.71) по периоду ларморовского вращения частицы
у=*я
у-0-
у*-а-
Рис. 5.3 Сила, действующая
на заряженные частицы,
отличается от нуля только в те
промежутки времени, когда
траектории частиц
расположены внутри полосы —а<у< + а.
при 0<#с<2а. При — 2а<ус<0 соответствующее
выражение обозначается <F>_ и имеет пределы —0i
и +9ь Предположим, что плотность частиц постоянна.
Тогда распределение ведущих центров вдоль оси у
однородно, и можно вычислить средние значения величин
</7>+ и </г>_, интегрируя по ус = ±а — a cos 0i
соответственно в пределах от 0 до 2а и от 2а до 0. Таким
170
образом, средняя сила, действующая на все частицы
внутри рассматриваемой полосы, равна
2а О
«F» =~t^<F> + d^c + -~ j <^>-dyc. E.75)
О -2а
Подставляя в выражение E.75) соотношение E.74)
и соответствующее выражение для <F>-, после
несложных вычислений получаем с точностью до членов
второго порядка <^F^> = <^FCS>, как это и следует из
макроскопической теории. Это вполне разумно, так как
мгновенное среднее значение силы, действующей на
частицы, не зависит от того, движутся эти частицы или
нет. Настоящий вывод не противоречит результату гл. 8,
где показано, что разделение заряда в некоторых
случаях пропорционально величине ларморовского радиуса
и vi^

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поток частиц, ведущих центров и распределение плотности» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»