ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЕДУЩЕГО ЦЕНТРА
До сих пор мы применяли теорию возмущений непосредственно к уравнению движения частицы. Исходным пунктом для построения теории движения частицы, которое является по существу вращением вокруг силовых линий, наложенным на дрейф ведущего центра, может также служить гамильтонов формализм [74, 75]. Рассмотрим [74] движение заряженной частицы в электрическом поле ? и в магнитном поле В, которое нигде не обращается в нуль. Допустим, что продольная компонента ЕВ— величина первого порядка малости по е. Здесь е представляет собой безразмерный малый параметр. Этим параметром может быть отношение ларморовского радиуса к характерным пространственным масштабам электромагнитного поля или же отношение циклотронного периода 2л/(о# к характерному времени изменения того же поля. Таким образом, в рассматриваемом подходе накладываются по существу те же ограничения C.1) и C.2), что и при построении дрейфовой теории. Поскольку поля Е и В медленно изменяются в пространстве и во времени, потенциалы А и ф, определяемые соотношениями B.8), B.10) и B.21), можно записать следующим образом q~A (X t) -= (-2-) Д' (eft «0 = ~- ауР, C.52) ? (М) = — ?' (^ е0- C.53) 80 Здесь использована калибровка у х = 0 в уравнений B.21). По сравнению с гл. 2 введенные здесь определения несколько модифицированы в том отношении, что множитель q включен в ауР и скалярные величины а и р считаются теперь функциями ер и et. Поскольку е мало по сравнению с единицей, то относительные пространственно-временные изменения величин А и ф, а следовательно, Е и В можно получить непосредственно из выражений C.52) и C.53). Сюда легко может быть включено также и гравитационное поле, описываемое потенциалом ф^, но для простоты оно рассматриваться не будет. Если в качестве обобщенных координат выбирают прямоугольные координаты *&, а соответствующие импульсы рк определяются соотношением B.61), то скорость частицы w можно записать в виде пт =~р — (—)^'> (З-54) и гамильтониан B.62) Я = -Г-(Р-Х ~А'У + — Ф'- C-55) Теперь при помощи канонического преобразования перейдем к новой системе обобщенных координат и импульсов (<7ь ..., р\). В этом новом представлении движение должно разделиться на три части, которые соответствуют движению по ларморовской орбите со скоростью W, а также движению со скоростями продольного и поперечного дрейфов и\\ и «j_, которые вычислены в первом порядке теории возмущений. Для этого воспользуемся производящей функцией конкретного вида, рассматриваемой в гл. 2, G(x, у, г; ри р2, ръ\ t)=— р2 + — Pi + Б Е + — Ps— PiPs, C-56) ? где 5 (ер, е/) соответствует длине дуги, измеренной вдоль силовой линии магнитного поля. Нетрудно ви- 81 деть, что общие формулы канонического преобразования B.58) приводят к следующим соотношениям: а = eft + eq3, p-e^-fe^, s = щ, C.57) P ~ — ~A' = *' ШР2 + — (f«)P3 L (VP) <7s. C.58) e ее и новый гамильтониан может быть записан в виде *,--Н*+-Н-?)<Н--?¦[¦>»»+ +т(-гК <3-59> При выводе этой формулы использованы соотношения C.57), C.58) и C.52). Подставляя гр\ из первого соотношения C.57) 'в выражение C.58), получаем Заметим, что в новом представлении частица обладает тремя степенями свободы, которым соответствуют переменные (ди /?i), (д2, Р2) и (<7з, Рз). Согласно соотношениям C.58) и C.54), /?2, Рз> Яг по существу совпадают с компонентами скорости частицы, и поэтому являются величинами нулевого порядка малости, поскольку (— = , a s, а, р \ * / дхк д (sxk) представляют собой геометрические координаты. При этом из соотношения C.57) следует, что ер\> eg и е<7г— обычные геометрические координаты, а е<7з, еРз представляют собой малые (порядка е) отклонения от положения а, р в плоскости, перпендикулярной В. Таким образом, в первом приближении канонические переменные (<7з, Рз) определяют скорость вращения W. Переменные (е?2, Ръ) соответствуют координате s и скорости и и ведущего центра вдоль магнитного поля В. 82 Наконец (eq\> ър\) представляет собой положение ведущего центра на силовой линии и смещение его поперек В. Три движения со скоростями W, и\\ и и± соответствуют трем степеням свободы только в первом приближении; в более высоких приближениях эти движения связаны между собой. Как будет показано в следующей главе, появление такой связи обусловлено отклонениями от адиабатической инвариантности. Полученному выражению C.60) для гамильтониана частицы можно дать простую физическую интерпретацию. Поскольку а, р, 5 определены для зависящего от времени магнитного поля, силовые линии подобны движущимся струнам, а частица «скользит» по ним, как бусинка по проволоке. При этом гамильтониан не совпадает с полной потенциальной энергией, связанной с работой электрического поля F. Он будет содержать только работу таких сил, которые в новом представлении можно рассматривать как «внешние» или «приложенные». Таким образом исключается работа, обусловленная движением силовых линий, поскольку она теперь рассматривается как работа сил связи. Различают два типа работы сил связи. Во-первых, вклад от поперечной составляющей силы существует только при смещении силовых линий в поперечном направлении, т. е. когда da/dt и d$/dt отличны от нуля. При этом поперечная компонента силы связи совершает работу, которая аналогична работе, совершаемой над бусинкой, скользящей по движущейся кривой неизменной формы. Во-вторых, работа может совершаться также в том случае, когда изменяется длина силовой линии и ds/dt отлично от нуля. При этом совершается такая же работа, как и над бусинкой, скользящей по упругой нити в форме окружности, радиус и длина которой изменяются во времени. Для того чтобы связать эти физические представления с выражением C.60), рассмотрим теперь полную работу qEdl, которую, согласно уравнению B.23), совершает электрическое поле. В принятых обозначениях один из членов в выражении, определяющем эту работу, равен (l/*2)(d$/dt)tia)d[— (l/e2)(da/dt)(v$)dT Согласно соотношению C.57), каждый из градиентов аир можно разделить на две составляющие: одна 83 связана с переменными <7з, Рз, а вторая — с q\, р\. Появление последней составляющей обусловлено главным образом дрейфовым движением частиц поперек магнитного поля и поэтому определяет работу поперечной составляющей силы связи. Поскольку A/е) (ds/dt) описывает скорость изменения длины дуги вдоль В, а р2/т — продольную скорость, работу продольной компоненты этих сил можно записать в виде A/е) — (ds/dt) -р2. Таким образом, чтобы получить гамильтониан из энергии, соответствующей интегралу от —Edly необходимо выделить работы поперечной и продольной составляющих сил связи и сложить их с кинетической энергией l/2tnw2. Это приводит к выражению типа C.60), где последние два члена описывают часть (d$/dt)y a(—da/dt)\? р, которая остается после выделения работы поперечной и продольной составляющих сил связи. В 'соотношении C.60) коэффициенты выражены {Яи Я2> Яъ\ Ри /?2, Рг) при помощи формул C.57) и подстановки а = гри P^e^i и 5 = е^2. Разложим теперь Н' по степеням #3, Ръ, поскольку 'в -соотношениях C.57) члены, содержащие гяг, е,03, порядка е, а величины е<7ь е/7i—-'порядка единицы. Тогда гамильтониан примет форму Я' = — #_, + Я0 + гНх + . . . ¦ C.61) е Запишем в явном 'виде первые члены этого разложения "-'-«"¦•"НтН ,3-62) и х[$ + 1?~")-*)- C-63> Здесь введено «следующее обозначение: W3 = w— (Щ В — -^^-. C.64) \т J В2 84 В первом приближении это выражение совпадаете выражением для скорости вращения, поскольку второе слагаемое в правой части выражения C.64) соответствует и Ц, а последнее, согласно уравнению C.34), совпадает с и±. В частном случае статического электромагнитного поля в выражении C.60) члены, которые имеют явную зависимость от времени, обращаются в нуль. В первом порядке теории возмущений скорости можно определить из выражений C.9), а магнитный момент M = mW2/2B — из соотношения B.83). Тогда преобразованный гамильтониан запишем в виде Я' = де + MB + — ти*. C.65) В гл. 4 покажем, что магнитный момент М в первом порядке теории возмущения является приближенным интегралом движения. Это означает, что в гамильтониане C.65) отсутствует явная зависимость вращения от времени, и задача сводится к изучению только среднего движения ведущего центра. 'Второе слагаемое МБ в гамильтониане C.65) можно рассматривать как дополнительную потенциальную энергию. Эквивалентный потенциал MB оказывается существенным при отражении вращающейся частицы от магнитных пробок (см. гл. 2, 6 и 7). Выражение C.65) для гамильтониана можно также получить из уравнения движения C.16) для ведущего центра в медленно меняющемся электромагнитном поле. Уравнения B.36) и C.16) различаются только силой, связанной с —МуВ. В следующей главе показано, что канонические уравнения иногда можно определить и для среднего движения частиц, которые осциллируют между двумя магнитными зеркалами и одновременно дрейфуют вокруг конфигурации магнитного 'поля по почти замкнутым траекториям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЕДУЩЕГО ЦЕНТРА» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
