Исходные уравнения. Нестационарные ленгмюровские волны
Элек- тронные продольные линейные волны уже рассматривались выше в рамках гидро- динамической модели. Анализ стационарных волн малой амплитуды, выполненный в предыдущем пункте, указывает, что в кинетике мы должны столкнуться с пробле- мой захваченных частиц. Так оно и есть. Исходными для описания линейных одномерных продольных волн в бесстолк- новительной кинетике при отсутствии внешнего магнитного поля в однородной электронной плазме является система уравнений (заряд электрона - е) dt dx m dx dv f dv Здесь по — концентрация ионов, которые мы считаем неподвижными. Полагая в невозмущённом состоянии а при наличии возмущений Подставляя эти величины в D.4.1) и отбрасывая величины второго порядка малости (ф\, /i ~ 0), приходим к линейной системе dt ' " dx ' m dx dv "v> J-9 " — i^— <4-4-2) Попробуем искать решение D.4.2) в виде экспоненты /i = /1 (^) ехр{—io;t + гк • х)\ ф\ = фх ехр{—iuot + гх • ж}. 4.4. Кинетика волн в плазме при Но = О 215 В результате получим е -1 l = к—ф\^—; х фх = —4тге /idiJ. Отсюда следует е <9/0- 1 г—я~Ф\ т ov оо — xv ; 0i=0i dfo dv dv uo — kv D.4.3) D.4.4) Сократив ф\ в последнем уравнении, получаем, казалось бы, простое дисперсион- ное уравнение (Власов, 1938 г) , ч Л Ане2 Г dfo dv Л /Л л ^ч ( ) \-^7 г = 0. D.4.5) J ov (ел XV) тя 7 (ел — XV) Однако, предполагая, что х w oj — вещественны, имеем особенность под интегра- лом при "кинематическом резонансе" = — =V, К D.4.6) т.е., когда фазовая скорость волны равна скорости частиц 0. Встает вопрос: как обойти эту сингулярность? Физически ясно, что при условии D.4.6) имеет место сильное взаимодействие между "резонансными" частицами и вол- ной. Но взаимодействуют с волной не только строго резонансные частицы. Сильное взаимодействие наблюдается и вблизи резонансного условия. Так если т I ефт\ > х) то частица может оказаться захваченной в потенциальную яму. При этом, если её скорость v < и/х, то она будет ускоряться (рис. 4.4.1а), а при v > ио/к — тормозиться (рис.4.4.16). Т.е. в первом случае волна передает свою энергию частице, а во втором — частица волне. а Рис. 4.4.1. Динамика электрона в поле бегущей электростатической волны: фазовая скорость волны больше начальной скорости частицы (а); фазовая скорость волны меньше начальной скорости частицы (б) Итак, особенность процессов в окрестности кинематического резонанса достаточ- но ясна. Однако, исходя из этого, пока непонятно, как все-таки обращаться с подин- *) Условие D.4.6), очевидно, аналогично условию Маха B.2.22). В настоящее время не существует устоявшегося термина для этого резонанса. Его часто называют "резонансом Черенкова", часто — "резонансом Ландау" и др. Исторически правильнее его было бы называть "резонансом Маха" или, что отвечает сути дела, "кинематическим резонансом". Этим термином мы ниже и будем в основном пользоваться. 216 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме тегральной сингулярностью. Но ситуация становится более ясной, если учесть, что система D.4.3), кроме D.4.5), имеет ещё одно решение f2 = f25(uj — kv), ф2 = 0. D.4.7) 5-образная функция f2 описывает, очевидно, строго резонансные частицы, дви- жущиеся с фазовой скоростью волны. Это, так сказать, "истинно" захваченные частицы. Впервые на них обратил внимание голландский математик Ван Кампен [111], который доказал, что волны f\ и f2 образуют полную систему собственных волн в одномерной кинетике. При этом f\ вычисляется в смысле главного значения. Поэтому "волны" /2, то-есть потоки частиц с v = ио / к часто называют "волнами Ван Кампена". Их также называют "баллистическими модами" или "квазиволнами".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исходные уравнения. Нестационарные ленгмюровские волны» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
