Наряду с прибли- женными методами, в основе которых фактически лежат методы квантовой механики, развивались, в особенности применительно к случаю тяжелых атомов, статистические методы, основы кото- рых были заложены в работах Томаса и Ферми. При статистическом подходе электроны атома по аналогии с теорией металла рассматриваются как вырожденный электрон- ный газ при Г = 0. Статистический метод Томаса — Ферми дает, конечно, меньшую точность, чем метод самосогласованного поля Хартри — Фока, поскольку при статистическом подходе нельзя 25 3dh 328 374 ЧАСТЬ tIT. ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ учесть многих деталей, относящихся к поведению отдельных электронов. Несмотря на эти общие недостатки, метод Томаса — Ферми играет существенную роль, поскольку он позволяет достаточно просто объяснить многие важные свойства атома в среднем. Хотя этот метод и не даег возможности обнаружить оболо- чечную структуру атома, с его помощью были объяснены некото- рые важные особенности заполнения электронных оболочек. После этих замечаний перейдем к выводу уравнения Тома- са — Ферми. В сравнительно тяжелых атомах положительно заряженное ядро окружено облаком отрицательно заряженных электронов, которые частично экранируют электрический заряд ядра. В ионизированном атоме на расстояниях, превышающих его раз- меры, потенциал в первом приближении определяется выраже- нием где Z — порядковый номер, а N — число электронов. Для нейтрального атома Af = Z, и поэтому Фоо = 0, т. е. элек- троны полностью экранируют заряд ядра. При построении статистической теории следует учесть три вида энергии взаимодействия: 1. Электростатическую энергию притяжения электронов к ядру. Эта энергия связана с плотностью электронов р0 (число электронов находящихся в единице объема) соотношением: Уя.-э = ~ eQ J РоФя d*x, B5.41) где е—--е0 — заряд электрона, а Фя =—~2-— потенциал. 2. Электростатическую энергию отталкивания между элек- тронами Уэ._9 = - -у J РоФ» <Рх, B5.41а) где 3. Кинетическую энергию электронов атома. Так же как и при построении теории твердого тела при абсолютном нуле температуры, средняя кинетическая энергия отдельного элек- трона согласно формулам F.12) и F 13I связана с плотностью 1 Эти формулы были получены нами в предположении, что в каждом квантовом состоянии, характеризуемом *ремя квантовыми числами, не может быть более двух электронов Таким обра ном, статистическая теория Томаса — Ферми автоматически учитывает принцип Паули, играющий фундаментальную роль в теории сложных атомов. § 25 Строение сложных атомов 375 электронов ро соотношением (Гср = Ecv>): ГСР = ХР2ОЧ B5.416) где * = ~Ш |г Cя2J" = 1 ^о(Зя2JА. B5.42) Отсюда для кинетической энергии электронов находим: p(Px. B5.43) Таким образом, полная энергия электронного газа в поле ядра, равная сумме потенциальной, состоящей из двух частей [см. B5.41) и B5.41а)], и кинетической [см. B5.43)] энергии, равна: - X J РМ»,-«О / РьФ.Л + Й J МГ)УУ. B5.44) При этом плотность электронного газа должна удовлетворять условию j Po&x^N,' B5.45) где Л/ — число электронов в атоме. Исходя из вариационного принципа, который при дополни- тельном условии B5.45) можно сформулировать следующим об- разом: 6{? + е9Ф0Л/} = 0, B5.46) находим соотношение между полным потенциалом Ф = ФЯ+ФЭ и плотностью электронов ро: р0 = з^ Bm°*°(Ф ""Фо) )S/2> B5.47) где множитель Лагранжа Фо, играющий роль некоторого по- стоянного потенциала, должен быть найден из граничных усло- вий. При выводе последнего соотношения мы учли, что б J роФ» d?x = J Фя бро <Рх, 6N = J бр0 d3x, *j[f Ро(г)ро(г') 0 2 J | г — г' | ахах ~ 4 г [6Ро(/-)Ро(гО + р0(г)бр0@] м 2 J \r-r'\ axdx = = - е0 J Фэ6р0 d^. B5.48) 25* 376 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ Подставляя найденное выражение B5.47) для плотности электронов в уравнение Пуассона (в случае сферически симме- тричного распределения электронов) и принимая во внимание, что <Do = const, получаем уравнение Томаса — Ферми, лежащее в основе статистической модели атома, 7"Ji ' (Ф - Фо) = ЖЯГ B"W'° (Ф - ФоK/!. B5.50) Для исследования конкретных вопросов уравнение B5.50) следует решать при определенных граничных условиях. В слу- чае ионизованного атома граничные условия могут быть заданы в виде ф-ф0==^ при г-^0, B5.51) Ф = {z~N)e* при г = г0. B5.52) Здесь г0 определяется условием, что при г = г0 плотность элек- тронов можно считать равной нулю, т. е. ро{го)—О. Отсюда со- гласно B5.47) находим: Фо= {Z~N)e\ B5.53) '0 Принимая во внимание уравнение Пуассона B5.49) [см. так- же B5.50)], условие B5.45) можно представить в виде: -<*ГФо)^^о. B5.54) Из B5.53) следует что для нейтрального атома {N — Z) Фо=О, а го = °°. Поэтому вместо B5.54) имеем: Г d2r<& . - J г —^г dr = Ze09 о а вместо B5.52) lim гФ = 0. B5.55) Г->оо Заметим, что уравнение Томаса — Ферми B5.50) имеет одно точ- ное решение ^4 B5.56) в чем нетрудно убедиться, подставляя B5.56) в B5.50), § 25. Строение сложных атомов 377 Это решение для нейтрального атома (Ф0=0) удовлетворяет одному из граничных условий при г->оо B5.55). Однако второе граничное условие при г->~0 [см. B5.51)] при этом не выпол- няется. К сожалению, решения уравнения Томаса — Ферми, удовле- творяющие обоим граничным условиям, не могут быть выраже- ны в простой аналитической форме.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистический метод Томаса — Ферми» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
