Найдем угловую часть волновой функ- ции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного мо- мента. Поскольку полный момент равняется сумме орбиталь- ного и спинового, подобная задача называется задачей на сло- жение моментов. Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин описывается двухрядными матрицами о', В этом случае решение следует искать в виде двухкомпо- нептиой матрицы U) A9Л4) между элементами которой может быть установлена связь, учи- тывающая закон сохранения полного момента количества § 19. Движение дираковского электрона в поле центральных сип 265 _____—. .———.—_— движения: W W *2 где L = [гр] — оператор орбитального момента, в' — двухкомпо- нентные матрицы Паули. Решение системы уравнений A9.15) ищем в виде 1: A9.16) где Yf — шаровые функции (см. § 11). Тогда, принимая во вни- мание, что (vJ (TJ A9.17) согласно A9.15), A9.12) и A9.13) имеем: или где </_,/(у + 1)_/(Л-1)_1. A9.18а) Воспользуемся далее соотношениями A1.87) и A1.88). UY? = - й 4- ГГ = тйУГ, A9.19) (Lx ± iLy) УГ = - ft V(l +l±m)(l^m) УГ ± l. A9.20) Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых частях шаровые функции, если положим m' = m — l. Тогда найдем следующее соотношение между коэффициентами: (<7 - m + 1) С, + Vr(/+l-m)(/ + m)C2 = 0, 0 Из условия равенства нулю определителя системы находим два значения величины q, соответствующие двум возможным типам 1 При различных значениях mum' сохраняется лишь квадрат орбиталь- ного момента, но не его проекция на ось г. 266 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА решения: l + m Сх\ A9.22) О, / = '-i. l + m ~m+l С,. A9.23) Коэффициенты Ci и С2, определяющие соотношения между ша- ровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном слу- чае орбитального и спинового) носят название коэффициен- тов Клебша— Гордана. Воспользовавшись также условием нормировки С\ + С\—\ I ¦ решение первого типа, когда / = / Ч—^"» 1~®> !»• в виде' f 2/4-1 В случае же, если / = / — у,/=1, 2, волновая функция равна: \JT<j 2Л-1 V l + m 21+1 запишем A9.24) (второй тип решения), A9.25) Y? где У/m —так называемые шаровые спиноры, условие орто- нормированности для которых имеет вид: *Yim= б; ,'6/HW, A9.26) Где j = l-\- ~ соответствует случаю, когда спиновый и орбиталь- ный моменты параллельны, а /=='~""> К0ГДа они антипарал- лельны. Условие A9.26) может быть легко получено, если учесть, что шаровой спинор Уш+ представляет собой матрицу с одной строкой, и также принять во внимание условие ортонормиро- ванности шаровых функций. Шаровые спиноры A9.24) и A9.25) представляют собой спинорное обобщение обычных шаровых функций (см. § 11) и представляет собой угловую часть реше- 1 Кроме того, имеется также другое решение с отрицательными значе- ниями /, которое мы просто отбрасываем 2 Заметим, что эта связь межд\ шаровыми функциями устанавливается только при наличии спин-орбитального взаимодействия. § 19. Движение дираковского электрона в поле центральных сил 267 ния для любых задач, связанных с движением частицы с полу- целым спином в поле центральных сил.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сложение моментов» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
