Чтобы получить первое приближение теории возмущений, следует отбросить в A5.4а) члены второго порядка малости (Е'— V')^' и учесть, что для нулевого прибли- жения имеет место уравнение: (?° — Н°)ф° = 0. A5.5) Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом при- ближении все собственные значения П° Я9 С0 Г7° Пи ?2, ?з, ...» tLrty - • • и собственные функции ih° ih° ih° ibr Tp 4V тз» • • •» 4V • • •» связанные между собой соотношением (?»,-Н°)е = 0. A5.6) Принимая это во внимание, переходим к исследованию урав- нения первого приближения теории возмущений (?°-H°)i|/ = -(?'— 1/')Ф°. A5.7) Предположим, что в начальный момент времени система нахо- дилась в некотором квантовом состоянии пг = п. Тогда, в связи с тем, что в нулевом приближении Е° = Е°п и /ф° = 'ф^, при нахож^ дении первого приближения Е/===Еп> Ф =^п получаем: A5.7а) Замечая, что любую функцию всегда можно представить в виде разложения по полной системе ортонормированных функ- ций с теми же граничными условиями (в данном случае этой системой являются функциифр -ф^, ..., я|)^) решение для -ф^ бу- дем искать в форме: 2« A5.8) п' В A5.8) мы должны определить неизвестные коэффициенты СП' обобщенного ряда Фурье. Подставляя A5.8) в A5.7а), имеем: ||,о =-(?;- V) ф», A5.9) или, принимая во внимание A5.6), находим: | СЛК ~ ЕЖ' --(^.- П€- A5.9а) Невырожденный случай. Если рассматриваемая система является невырожденной, т, е, если каждому собственному зна-» § 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 217 чению энергии Е°п соответствует одна и только одна собственная функция ifP, то, умножая уравнение A5.9а) слева на ty°n* и ин- тегрируя затем по всему пространству, можно привести его к виду * (П - К) К,, = -К п' Здесь мы учли ортонормированность собственных функций Поскольку величина, стоящая в левой части A5.10), равна нулю (при я'= я, Е°п — Е°п, = 0, а при п1?= п, Ьпп, == 0), для искомой до- полнительной энергии Еп находим выражение (первое прибли- жение) : E'n = V'nn, A5.11) где матричный элемент Таким образом, дополнительная энергия Еп системы естествен- но оказывается равной среднему значению энергии возмуще- ния V. Следует заметить, что выражение A5.11) для дополнитель- ной энергии Еп было получено в результате приравнивания нулю левой части уравнения A5.7а) после его умножения на волно- вую функцию i|5°* и интегрирования по всему пространству. От- сюда следует, что правая часть неоднородного уравнения Л1ф = / A5.12) должна быть ортогональной к решению соответствующего одно- родного уравнения Мф° = 0, т. е. J ^fdlx - 0. A5.13) Для того чтобы найти коэффициенты Сп>в уравнении A5.8), воспользуемся формулой A5.9а), которую перепишем в виде Тогда, умножая его слева на ^*,(п' фп) и принимая во внима- ние условие ортонормированности, после интегрирования по все- му пространству находим: С„< = -^^, A5.14) 218 Ч^ГТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где Таким образом, для tfn имеем: причем здесь штрих у символа суммы означает, что суммирова- ние ведется по всем /г', кроме п' = п. Наконец, неизвестный пока что коэффициент Сп при волновой функции в нулевом прибли- жении может быть найден из условия нормировки >„^х = 1 A5.17) полной волновой функции где Сп=1+С„. A5.19) Подставляя A5.18) в A5.17) и оставляя члены не выше пер* вою порядка малости, имеем A5.20) Отсюда, учитывая условие ортонормированности, с точностью до фазового множителя, который нас не интересует, находим. С°п=\, A5.21) т. е. С„ = 0. В результате для волновой функции \f>n с учетом первого при- ближения теории возмущений окончательно получаем выражение %-€ + €> A5.22) где Отсюда, а также из A5.11) видно, что как г|?, так и ?^' про- порциональны энергии возмущения в первой степени (т. е. про* иорциональкы параметру Я).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Первое приближение» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
