До сих пор все проводимые нами рас- четы производились без учета движения ядра. Поэтому построен- ная выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще го- воря, в особенности для легких элементов (например, для водо- рода и гелия) можно принять лишь в первом приближении. Учет движения ядра привел к объяснению ряда экспериментальных фактов. В случае учета движения ядра классическое выражение для энергии будет равно: ^P> + .±fPl A3.77) где т0 и М являются соответственно массами электрона и ядра, а Г| и г2 их координатами, вместо которых мы введем относи- тельную координату r = rx-r2 A3.78) и координату центра тяжести В системе координат, для которой центр тяжести покоится (гц т == 0), находим: где Р\ = mjru Р2 = Mr2, p =¦ тпрг, а приведенная масса может быть найдена из равенства 1 ^ + т е я*пр т0 М A3.79) т° ~ - (t - тЛ A3.79а) Вводя в уравнение A3.77) относительную координату г и за- меняя при переходе к квантовому случаю приведенный импульс соответствующим оператором 13* ?96 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА мы можем записать волновое уравнение с учетом движения ядра в виде: (?> <13-80> которое отличается от соответствующего уравнения Шредингера для атома водорода тем, что вместо массы покоя электрона т0 следует взять приведенную массу тпр. Примечание. Все эти преобразования мы заимствуем из классической механики. Если предположить, что центр тяжести системы не покоится, то функцию Гамильтона A3.77) можно было бы привести к виду о2 р2 E=V® + -2— + т^~, A3.80а) где mnp — приведенная масса [см. A3.79)], тсумм = т0 -f M — суммарная масса, а рц. Т = тСуМм • гц. т — общей импульс системы. Из A3.80а) видно, что центр тяжести должен либо двигаться равномерно и прямолинейно, либо покоиться, как в нашем случае. Тогда, полагая рц. т = 0, для функции Гамильтона получаем известное из классической механики выражение E=V{r)+^r> (I3-80G) которое и положено в основу квантового уравнения A3.80). Поэтому для спектральных уровней цы получим то же самое выражение, как и для покоящегося ядра с заменой постоянной Ридберга R = R^ = -тщ" Для бесконечной массы ядра (М —> оо) постоянной Ридберга, соответствующей конечной массе ядра М: A3.81) В этом случае несколько численно изменяются и значения для термов: („t\ _ ^2^оо A __ _^0_\ /|О от \Г11) — 2 \ * Ml* \lO.OZ) Поэтому частота излучения будет определяться выражением A3.83) отличающимся от прежнего [см. A3.74)] наличием множителя I 1 т0 \ \ 1 П~ • V М / § 13. Теория водородоподсбного атома (проблема Кеплера) 197 В силу зависимости частоты излучения атомов от массы ядра М определение атомного веса можно производить не только обычными химическими, но и спектроскопическими методами. Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как из- вестно, атомный вес водорода был определен в среднем относи- тельно кислорода на основании химических исследований. Для каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с по- мощью масс-спектрографа. При этом были получены несколько отличные значения AWAb . A3.84) -<™хим На основании этого Берджем и Ментцелем было выдвинуто предположение о существовании изотопа водорода — дейтерия D = ?Н (или тяжелого водорода), имеющего атомный вес, в два раза больший, чем у обычного водорода. В самом деле, при определении атомного веса естественной смеси водорода вклад должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется лишь атомный вес iH, поскольку спектральные линии атомов ложатся в другом месте шкалы. Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию, образуя, например, так называемую тяжелую воду D2O. Впер- вые тяжелая вода была окрыта Юри и Осборном в 1932 г. Основ- ной метод получения дейтерия — это электролитическое разложе- ние воды. Скорость выделения обычного водорода на катоде значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в ре- зультате чего происходит значительная концентрация дейтерия в остатке жидкого электролита, где он может быть обнаружен. Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной воде обнаружить его там почти невозможно. Наличие дейтерия подтверждается спектроскопическими исследованиями, показав- шими, что в серии Бальмера (п' — 2) наряду с линиями существуют линии (фиг. 13.5), расположенные несколько правее и укладывающиеся в формулух фБалъм -_«_ 3680 )\22 "~ п2)у A3.86) которую нетрудно получить из A3.83,), если положить там массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и Z ~ L 1 Согласно экспериментальным данном /?«>=2лс« 109737, Rasat2nc* 109678, #р = 2ш> 109707, 198 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА - ~( Фиг. 13.5. Схема относительного расположения спектральных ли- ний атома водорода и его изото- пов. Водород^Н) Следует заметить, что ввиду боль- шой относительной разницы в массах атома дейтерия и атома в°Д°Р°Да они отличаются по сво- им фИЗИческим и химическим свойствам гораздо сильнее, чем изотопы других элементов. Так, Тригпий[эн) например, хотя тяжелая вода внешне и похожа на обыкновен- ную воду, по физическим свой- ствам она несколько отличается от обыкновенной. В частности, температуры плавления и кипе- ния ее при 1 атм равны соот- ветственно 3,81° и 101,4°. Она имеет большую вязкость и хуже растворяет соли, чем обычная вода. В связи с развитием ядерной физики тяжелая вода приобретает особое значение, так как она является хорошим замедлителем быстрых нейтронов, а также используется как источник получения дейтерия. В настоящее время известен еще один изотоп водорода— тритий ?Н, ядро ко- торого состоит из двух нейтронов и одного протона. Его соедине- ния с кислородом образуют так называемую тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов трития к числу ато- мов !Н равно примерно 10~18, в то время как отношение числа атомов ?Н к числу атомов водорода }Н равно -т^-. Тритий в смеси с дейтерием является важнейшим веществом для осуществ- ления термоядерных реакций. Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как относительно водородных, так и дейтериевых линий (фиг. 13.5) и находятся по формуле: A3.87) Другим очень важным следствием учета движения ядра было открытие ионизованного атома гелия, обнаруженного впервые спектроскопическим способом на Солнце. При исследовании солнечного спектра была найдена серия линий, располагающих^ ся по закону «>2rt, = tf(^r-^2-). A3.88) где п\ принимает значения «i = |, 3, 7 Q -L 4 — о > » о » A3.89) § 13. Теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 199 Эта серия представляла собой по существу водородную серию Бальмера (п\ = 3, 4, 5, ...) с рядом промежуточных линий, об- разующих серию, получившую название серии Пикеринга, харак- 5 7 теризующуюся полуцелыми квантовыми числами ti\=-x, 17» Q — ,.... Вначале для объяснения серии Пикеринга предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так что квантовое число п может принимать полуцелые значения. Одна- ко в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии рас^ полагаются правее, нежели это следует из формулы A3.85). По- этому выдвинутое предположение пришлось оставить. Затем бы- ла предложена другая гипотеза, согласно которой обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно ионизованному атому гелия 2Не+, масса ядра которого М = 7360 т0, заряд Z = 2, а частоты согласно A3.83) определяются выражением ^) Полагая здесь я'= 4, приводим A3.90) к виду где м = 5, 6, 7, 8 ... . Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга из- лучению атомов водорода (с предположением, что квантовые числа могут принимать полуцелые значения) или излучению ионизованного атома гелия (с нормальным значением квантовых чисел), необходимо было найти экспериментальное значение по- стоянной Ридберга. В случае водорода Ц Що) A3.92) Для атома гелия ( Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвер- дило для постоянной Ридберга значение A3.93), и тем самым однозначно было доказано, что серия Пикеринга представляет собой спектр ионизованного атома гелия.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Учет движения ядра» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
