Согласно классической электродинамике источником излучения света может стать, на- пример, ускоренно движущийся заряд, причем количество излу- чаемой энергии в единицу времени определяется известной фор- мулой 1 ___ (9.1) 3 с ___ где г = w — ускорение частицы. Если источником излучения является одномерный гармониче- ский осциллятор х — a cos со/, (9.2) 1 Черга сверху будет означать усреднение по времени. § 9. Квантовая теория излучения П5 то частота излучения будет совпадать с механической частотой колебания осциллятора, а интенсивность излучения пропорцио- нальна квадрату амплитуды а2 [см. (8.5)]. В том случае, когда движение заряда происходит по более сложному периодическому закону х = /(/) с периодом т =——, функцию i(t) можно разложить в ряд Фурье и рассматривать излучение так, как будто оно порождается си- стемой осцилляторов с частотами cofe = feco, где k = 1,2, 3 При этом излучаться будет как основной тон со (k = 1), так и гар- моники k(o (k = 2, 3, 4,...), причем интенсивность излучения со- ответствующей гармоники пропорциональна а\. Таким образом, согласно классической теории излучение си- стемы полностью определяется ее механическими свойствами: частота излучения оказывается либо равной, либо кратной меха- нической частоте колебаний системы, а интенсивность излучения соответствующей гармоники пропорциональна квадрату ампли- туды. В квантовой механике к вопросу об излучении следует под- ходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только при переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз». Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего элек- тромагнитного поля) переходы системы с одного энергетическо- го уровня на другой. Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной си- стемы находится на возбужденном уровне п с энергией Еп. Тог- да для такого электрона существует определенная вероятность Апп\ отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в бо- лее низкое энергетическое состояние п' с энергией Еп>. При это*м происходит испускание фотона с энергией ?со = Еп — ?V. Если число подобных возбужденных атомов равно Nny то энергия из- лучения в единицу времени, обусловленная спонтанными перехо- дами, может бьпь записана в виде 116 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Ann1 -Еп -ЕП' Фиг. 9.1. Переходы свер- Если же атомы подвергнуть воздей- ствию со стороны внешнего электромаг- нитного излучения, то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы сни- зу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов. Обозначим, следуя Эйнштейну, ве- роятности вынужденного перехода с уров- уу «я „ на „' через Впп,. а с уровня „' на п вверх (вынужденные). через вп»п . Гогда, считая, что число вы- нужденных переходов должно быть про- порционально спектральной плотности рш падающего излучения, находим соответственно для энергии излу- чения и поглощения, обусловленной вынужденными переходами: то/вы нужд ж г о л* ^ Согнл жд = Nn'Bn'nPbv, (9.4) где Nn' — число атомов в состоянии п'. Рассмотрим случай, ко- гда должно наступить состояние термодинамического равнове- сия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (чер- ное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т. е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково (фиг. 91): NnAnn' + NnpBnn' = Nn-QBn-n. (9.5) Учитывая, что в этом случае распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла получаем Ann*'*"!" + рВппе~Еп/*т = piW-V/*r. Отсюда, сокращая на множитель е~ п^ и принимая во вни- мание, что Еп — ?V = йсо, имеем: р(со) = п'п kta/kl _ 1 (9.6) nn' Выражение для коэффициента спонтанного излучения АпП' мо- жет быть написано, если исходить из принципа соответствия пу- тем сравнения квантовой формулы с соответствующей формулой классической теории. § 9. Квантовая теория излучения 117 Подобное сравнение мы произведем на примере гармониче- ского осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется формулой (8.10): WKJi = 2Qg2{°2f . (9.7) По квантовой же теории она определяется выражением (9.3), ко- торое при наличии одного осциллятора (Nn = 1) дает W™ = ШппЛпп, (9.7а) Предположим, что коэффициент спонтанного излучения про- порционален квадрату матричного элемента J Л Г \ Y I2 При переходах сверху вниз (п-+п') отличным от нуля будет только матричный элемент [см. (8.68)] r2 __ hn _ ] \ F — F \ Л п-\,п~- 2т0со 2т0со2 ' Пп П° ! э причем F F «л, п-\ = 1 = со- Отсюда, приравнивая классическое приближение (f)->0) кван- тового выражения для энергии излучения (9.7а) 2 соответствую- щему классическому выражению (9.7), мы найдем уравнение для определения постоянной С: CEhd) 2 а^Ее2 3 тосъ Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента спонтанного излучения 3: 1!1 Г , Далее, если считать известной еще формулу Планка [см. B.3)] /7СО3 1 Р Н = _ J 1 При этом мы можем исходить из аналогии с классической теорией, где излучение пропорционально квадрату амплитуды колебаний [см. (8.5)] 2 Математически это приводит к отбрасыванию нулевой энергии ?0= —йсо, имеющей в классическом приближении, т. е. в области больших квантовых чисел (л»1) по сравнению с энергией Еп—?о, порядок h. 3 Здесь мы сделали переход от одномерного случая к трехмерному путем замены матричного элемента координаты | хп,п j2 матричньм элементом ра- ди>с-вектора 118 ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА то, сопоставляя ее с формулой (9.6), можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов _ п2с3 л __ 4 п2е2 . й /q о v /5/гя' = O/7'n — "^"Г ^пп' — "з~ |72 I тп'п I • V^-Od/ Для интенсивности излучения согласно (9.7а) имеем: Wnn> = j-^-\rn>n?. (9.86) Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения (см ниже), тем не менее его нельзя признать последовательным (это относится также и к первоначальному выводу формулы Планка, см. § 2). При первом чтении книги, однако, можно ограничиться этими простыми со- ображениями. Для лиц, желающих познакомиться с современной квантовой теорией излучения, следует прежде всего получить коэффициен- ты Эйнштейна А и В, а затем, подставляя эти значения в фор- мулу (9.6), дать строгое квантовое обоснование формулы Планка. Все это будет проделано ниже в оставшейся части § 9 и § 10. Здесь же мы ограничимся некоторыми общими замеча- ниями о квантовой теории излучения. В общих чертах квантовая теория излучения сводится к сле- дующему. В рамках теории Шредингера можно объяснить лишь вынужденные переходы, происходящие в результате взаимодей- ствия электронов атома с внешней электромагнитной волной. Спонтанные же переходы из возбужденных энергетических со- стояний в более низкие остаются в этом случае факти- чески не объясненными, поскольку отсутствует внешнее воздействие, которое могло бы привести к этим переходам. От- вет на этот вопрос был найден только после создания квантовой теории излучения, в которой был использован аппарат квантоза- ния электромагнитного поля (вторичное квантование). При этом электроны и поле излучения рассматриваются как две взаимо- действующие квантовые системы, причем это взаимодействие не исчезает даже при отсутствии реальных фотонов. Фотоны, ко- торые в данный момент не существуют, но могут появиться, называются виртуальными. Они образуют так называемый электромагнитный вакуум. Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем виртуальных фотонов является действие на движущийся элект^ рон силы лучистого трения Планка обусловленной электромагнитным полем, создаваемым самим же электроном. Именно это поле и может отрываться от электрона § 9. Квантовая теория излучения 119 б виде светового излучения. На языке вторичного квантования это соответствует переходу фотонов из виртуального состояния в реальное.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спонтанные и вынужденные переходы» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
