Ранее было отмечено (см. главу 2.1), что метод капитализации по норме отдачи на капитал в зависимости от предполагаемой динамики изменения потока доходов и расходов подразделяется на метод анализа дисконтированных денежных потоков (DCFанализ) и метод капитализации по расчетным моделям. DCF-анализ предполагает представление доходов, расходов и факторов дисконтирования в явном виде для каждого года прогноза. А метод капитализации по расчетным моделям представляет собой некоторое конечное алгебраическое выражение, являющееся функцией дохода первого года, тенденции его изменения в будущем и коэффициента капитализации, построенного на базе нормы отдачи на капитал и нормы его возврата. Если метод DCF-анализа используется для произвольных потоков расходов и доходов, то капитализация по расчетным моделям оценки применяется тогда, когда оцениваемый объект недвижимости генерирует постоянные или регулярно33 изменяющиеся доходы. Это возможно в том случае, если объект недвижимости находится в функциональном состоянии и его использование соответствует наиболее эффективному. 3.4.1. Метод анализа дисконтированных денежных потоков В соответствии с принципом ожидания основой оценки рыночной стоимости доходным методом является чистый операционный доход, который способен генерировать объект оценки в будущем. Это доход в соответствии с концепцией DCF-анализа должен быть спрогнозирован в явном виде для каждого года использования объекта. Расчет чистого операционного дохода выполняется путем постатейного прогноза формирующих его доходов и расходов. Во второй главе, посвященной экономическим основам оценки доходных активов, мы установили, что во всех случаях оценки, когда ставка процента ip фонда возмещения меньше нормы отдачи на капитал Y, характер изменения совокупного дохода собственника имел тенденцию к снижению. Такая тенденция снижения дохода объясняется тем, Под регулярно изменяющимися потоками понимаются потоки, динамика изменения которых поддается математической формализации. 33
146
что реинвестирование денежных средств в ФВ для возврата первоначальных инвестиций осуществляется по норме прибыли ip, меньшей, чем норма прибыли Y, которую требует для себя инвестор за риск инвестирования в данный актив. Рассмотрим подробнее динамику этого снижения при разных моделях возврата первоначальных инвестиций для двух вариантов владения активом: вариант 1 – прогнозируемый период владения активом k равен сроку его экономической жизни n; вариант 2 – прогнозируемый период владения активом k меньше срока его экономической жизни. В конце k-го года объект продается. Сначала, для простоты, весь актив будем считать полностью истощаемым. Вариант 1. Допустим, что возврат капитала осуществляется по модели Ринга. Как было показано выше, для этой модели ежегодные отчисления в фонд возмещения равны отношению стоимости к сроку экономической жизни: V/n. На эти взносы в соответствии со спецификой фонда возмещения по Рингу (iP=0) проценты не начисляются. Если сравнивать норму дохода фонда возмещения iP с нормой дохода на капитал Y, то можно говорить о ежегодной потере дохода собственника в размере не начисленных процентов, равных
YЧ(V/n). Если взнос произведен в конце первого года, то потеря дохода («упущенная выгода») к концу второго года будет равна YЧ(V/n). В конце третьего года потери возрастут в два раза, так как сумма вклада будет равна 2(V/n). В конце четвертого года потери составят величину, равную 3YЧ(V/n), и т.д. Эти рассуждения, выполненные на содержательном уровне, можно подтвердить формальными выкладками. Для этого необходимо найти разность совокупного доходов собственника первого года и последующих лет эксплуатации объекта. Ориентируясь на результаты второй главы (см. формулу 2.34 и Пример 2.2), выражения для оценки совокупного дохода собственника для k лет эксплуатации при условии возврата капитала по методу Ринга (ip=ia=0) без учета дохода на землю можно записать следующим образом:
I 1 = VB Ч Y + VB Ч I 2 = VB Ч ( 1 − I 3 = VB Ч ( 1 −
1 , n
1 1 ) Ч Y + VB Ч , n n 2 1 ) Ч Y + VB Ч , n n
http://www.natahaus.ru/
…
I k = VB Ч ( 1 −
k −1 1 ) Ч Y + VB Ч . n n VB , первого n
Нетрудно видеть, что разность доходов первого и второго года равна Y Ч и третьего − Y Ч
2VB ( k - 1)VB и первого и k-го года − Y Ч . n n
Следовательно, в целом, для модели Ринга для первого варианта можно записать, что
V 2V ( n − 1 )ЧV I1 − Y Ч I1 − Y Ч I1 n + n + ...+ n + V= . ( 1 + Y ) ( 1 + Y )2 ( 1 + Y )3 ( 1 + Y )n I1 − Y Ч
(3.58)
Выражение (3.58) можно представить в компактной форме: n V⎞ V q ⎛ V = ⎜ I1 + Y Ч ⎟ Ч a( n,Y ) − ЧY Ч ∑ , q q=1( 1 + Y ) n⎠ n ⎝
где a(n,Y) – фактор текущей стоимости аннуитета. С учетом того, что
n − a( n,Y ) q = ( n + 1 )Ч a( n,Y ) − , q q =1 ( 1 + Y ) Y ∑ n
математическое выражение для оценки рыночной стоимости можно записать так: Y ЧV ⎛ V = ⎜ I1 − n n ⎝ Y ЧV [ n − a( n,Y )] ⎞ Ч a( n,Y ) + n . ⎟ Y ⎠
Или, после некоторых преобразований,
V = I1 Ч a( n,Y ) − Y ЧV Ч a( n,Y ) + V − Из последнего выражения имеем V= I1 Ч a( n,Y ) . 1⎞ ⎛ ⎜Y + ⎟ Ч a( n,Y ) n⎠ ⎝
V Ч a( n,Y ) . n
Или
V=
I1 . Y + SFF( n,0% )
(3.59)
148
Формула
(3.59)
позволяет
на
основе
дохода
1-го
года
и
коэффициента
Y+SFF(n,o)=Y+1/n получить оценку рыночной стоимости актива. Во втором варианте актив в конце k-го года продается. Выражение для расчета текущей стоимости такого потока доходов можно представить следующим образом:
k I1 − Y Ч ЧV V ( k − 1) n ЧV I1 − Y Ч I1 − Y Ч I1 Y + 1 /( n − k ) n + ... + n + + V = . 2 (1+Y ) (1+Y ) ( 1 + Y )k ( 1 + Y )k
(3.60)
В отличие от (3.58), числитель последнего выражения (3.60) представляет собой текущую стоимость недополученных доходов – стоимость реверсии. Можно показать, что (3.60) имеет конечное выражение, равное (3.59). Из анализа (3.60), в частности, следует, что оценка стоимости актива не зависит от величины k. То есть оценка стоимости актива не зависит от длительности прогнозного периода. Это объясняется тем, что каждый дополнительный доход, который может быть получен в послепрогнозный период, сопровождается эквивалентным уменьшением стоимости реверсии. Можно показать, что справедливость данного утверждения не зависит от того, дисконтируются реальные или номинальные доходы. Рассмотрим числовой пример оценки объекта недвижимости с линейным износом улучшений34. Пример 3.6
Объект − улучшенный земельный участок. Рыночная стоимость улучшений – 1000 у.е. Чистый операционный доход – 483 у.е. Норма отдачи на собственный капитал – 10% годовых. Аргумент ia функции износа равен нулю. Срок экономической жизни улучшений – n=3 года. В конце срока экономической жизни осуществляется продажа оставшейся части актива (земли.) Требуется определить стоимость земельного участка. Для линейной схемы износа (ia=0) возврат первоначальных инвестиций необходимо формировать по модели Ринга (ip=0). Ориентируясь на представленные выше математические выражения, рассчитаем последовательно составляющие чистого операционного дохода и выполним оценку рыночной стоимости земельного участка в составе объекта недвижимости, состоящего из участка и его улучшений.
34
Условия примера совпадают с условиями примера рассмотренного во второй главе.
http://www.natahaus.ru/
Ранее было показано, что чистый операционный доход можно представить в виде разности: I q = I1 − ΔI q , где ΔI q - потери при возврате (реинвестировании). С другой стоon of роны, этот доход равен сумме трех составлящих: I q = I Bq + I Bq + I L .
Следовательно, необходимый для оценки земельного участка доход можно предстаon of вить так: I L = I1 − ΔI q − I Bq − I Bq . Используем данное выражение для оценки стоимости
участка. Решение 1. Потери при возврате: Первый год – 0 Второй год - Y Ч
V 1000 = 0,1Ч = 33 у.е., n 3 2V 2 Ч 1000 = 0,1Ч = 66 у.е. n 3
Третий год - Y Ч
2. Доход на улучшения: Первый год - VB Ч bal( n,0,ia )ЧY = 1000 Ч 1Ч 0,1 = 100 у.е., Второй год - VB Ч bal( n,1,ia )ЧY = 1000 Ч 0,67 Ч 0,1 = 67 у.е., Третий год - VB Ч bal( n,2,ia )ЧY = 1000 Ч 0,33 Ч 0,1 = 33 у.е. 3. Доход фонда возмещения: Первый год - VBЧSFF(n, ip)Ч ( 1 + ip )0 =1000Ч0,333Ч1=333 у.е., Второй год - VBЧSFF(n, ip)Ч ( 1 + ip )1 =1000Ч0,333Ч1=333 у.е., Третий год - VBЧSFF(n, ip)Ч ( 1 + ip )2 =1000Ч0,333Ч1=333 у.е. 4. Доход на землю: Первый год – (483-0-100-333)=50 у.е., Второй год – (483-33-67-333)=50 у.е., Третий год - (483-67-33-333)=50 у.е. 5. Доход от реверсии VL 50 = = 500 у.е. Y 0,1
Ниже по тексту представлены результаты данной оценки, полученные с использованием электронной таблицы Microsoft-Excel (см. Табл. 3.4) . Заметим, что аналогичный результат может быть получен по формуле (2.33):
V=
483 = 1500 . 1000 0,1 + Ч 0,333 1000 + 500
Для модели Хоскольда фактор фонда возмещения рассчитывается по некоторой промежуточной ставке процента iP: 0<iP<Y. По аналогии с линейной моделью возмещения оценим потери дохода при возврате капитала по модели Хоскольда. Таблица 3.4 2 B 3 Чистый опер. доход 4 Ставка % фонда возмещения 5 Срок экономической жизни 6 Cтавка дисконта 7 Стоимость земли C I ip n Y VL D 483 0% 3 10,0% 500 E SFF(n,ip)= F 0,333 Комментарии F4=-ОСНПЛАТ(D6;1;D7;1)
искомый параметр
Продолжение Таблицы 3.4 B 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Статьи Чистый опер. доход Потери при возврате Итого чистый доход Доход на улучшения Доход ФВ Доход на землю Реверсия земли Итого доход на землю 18 Фактор дисконта 19 Текущая стоимость 20 Разность 21 Невозм. инв. 22 VB 23 S(q-1-r)=1/SFF(q-1-r) Оценка стоимости C 0 D E Номер года, q 1 2 483 483 0,00 33 483 450 100 67 333 333 50 50 50 0,909 45 50 0,826 41 F 3 483 67 417 33 333 50 500 550 Комментарии
Для этого, предварительно, запишем выражения для оценки совокупного дохода собственника для первого и q-го года: I1 = VB Ч bal( n,0,ia )ЧY + VB Ч SFF( n,ip )Ч( 1 + ip )0 , I q = VB Ч bal( n,q − 1,ia )ЧY + VB Ч SFF( n,ip )Ч( 1 + ip )q−1 .
http://www.natahaus.ru/
Можно показать, что разность I1 − I q = (Y – iP)ЧSFF(n,iP)ЧVЧS(q-1,iP). В общем случае, по аналогии с моделью Ринга, для первого варианта владения собственностью для модели Хоскольда справедливо следующее выражение:
V=∑
I1 − V Ч( Y − iP )Ч SFF( n,iP )Ч S( q − 1,iP ) I1 = . q q=1 Y + SFF( n,iP ) (1+Y ) n
(3.61)
Если в конце k-го года собственность продается, то V = ∑ I 1 − V Ч (Y − iP ) Ч SFF(n, iP ) Ч S(q - 1, iP ) + q =1 (1 + Y) q VP I1 , + = k (1+Y ) Y + SFF ( n ,iP ) k
(3.62)
где I1 − доход 1-го года, а VP − стоимость реверсии:
VP =
I1 −V Ч( Y − iP )Ч SFF( n,iP )Ч S( k ,iP ) . Y + SFF( n − k ,iP )
(3.63)
Формула (3.62) является универсальной, т.к. при iP=Y она реализует предпосылку Инвуда, при iP=0 – Ринга и при iP<Y – Хоскольда. Заметим, если прогнозного периода нет (k=0), то стоимость реверсии становится равной рыночной стоимости оцениваемого актива:
VP =
I1 =V . Y + SFF( n,iP )
Ниже по тексту приведены примеры оценки с использованием моделей Хоскольда (Табл. 3.5) и Инвуда (Табл. 3.6). Пример 3.7 (оценка по модели Хоскольда)
Условия те же (см. Пример 3.6), за исключением: ЧОД=467 у.е. и ia=ip=5%. Требуется определить стоимость земли. Решение 1. Потери при возврате: Первый год – (Yо – iP) ЧSFF(n,iP) ЧVоЧS(0,iP)=(0,1-0,05) Ч0,31721Ч1000Ч0=0 у.е., Второй год – (Yо – iP) ЧSFF(n,iP) ЧVоЧS(1,iP)=(0,1-0,05) Ч0,31721Ч1000Ч1=16 у.е., Третий год – (Yо – iP) ЧSFF(n,iP) ЧVоЧS(2,iP)=(0,1-0,05) Ч0,31721Ч1000Ч2,05=32,51 у.е. 2. Доход на улучшения:
152
Первый год – VB Ч bal( n,0,ia )ЧY = 1000 Ч 1Ч 0,1 = 100 у.е., Второй год – VB Ч bal( n,1,ia )ЧY = 1000 Ч 0,683 Ч 0,1 = 68,3 у.е., Третий год – VB Ч bal( n,2,ia )ЧY = 1000 Ч 0,350 Ч 0,1 = 35 у.е. 3. Доход ФВ: Первый год – VBЧSFF(n,ip) Ч ( 1 + ip )0 = 1000Ч0,317Ч1=317 у.е., Второй год – VBЧSFF(n, ip) Ч ( 1 + ip )1 = 1000Ч0,317Ч1,05=333 у.е., Третий год – VBЧSFF(n, ip) Ч ( 1 + ip )2 = 1000Ч0,317Ч1,1=350 у.е. 4. Доход на землю: Первый год – (467-0-100-317)=50 у.е., Второй год – (467-16-68-333)=50 у.е., Третий год - (467-33-35-350)=50 у.е. VL 50 = = 500 у.е. Y 0,1
Таблица 3.5 2 B C 3 Чистый опер. доход I 4 Ставка % фонда возме- Ip щения 5 Срок экономической жиз- n ни 6 Cтавка дисконта Y 7 Стоимость земли VL D 467 5% 3 10,0% 500 E F Комментарии
SFF(n,ip)= 0,317 F4=-ОСНПЛАТ(D6;1;D7;1)
искомый параметр
Продолжение Таблицы 3.5 B 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Статьи Чистый опер. доход Потери при возврате Итого чистый доход Доход на улучшения Доход ФВ Доход на землю Реверсия земли Итого доход на землю Фактор дисконта C 0 D E Номер года, q 1 2 467 467 0,00 16 467 451 100 68 317 333 50 50 50 0,909 50 0,826 F 3 467 33 435 35 350 50 500 550 0,751 Комментарии
Итак, из анализа выше представленных результатов следует, что при оценке объекта недвижимости методом анализа дисконтированных денежных потоков необходимо осуществлять учет потерь на возмещение истощаемой части актива в том случае, если ставка процента фонда возмещения меньше ставки отдачи на капитал. Как было показано выше, потери в доходах q-го года определяются произведением
(Y– iP)ЧSFF(n,iP)ЧVЧS(q,iP). Очевидно, если ставка процента фонда возмещения равна ставке отдачи на капитал, что характерно для метода Инвуда, то потери в доходах будут отсутствовать. Ниже по тексту представлены результаты электронной версии оценки при возврате капитала по методу Инвуда (Табл. 3.6). Таблица 3.6 2 B 3 Чистый опер. доход 4 Ставка % фонда возмещения 5 Срок экономической жизни 6 Cтавка дисконта 7 Стоимость земли C I ip n Y VL D 452 10% 3 10,0% 500 E SFF(n,ip)= F 0,302 Комментарии F4=-ОСНПЛАТ(D6;1;D7;1)
искомый параметр
Продолжение Таблицы 3.6 2 8 9 10 11 B Статьи Чистый опер. доход Потери при возврате C 0 D E Номер года, q 1 2 452 452 0 0 F 3 452 0 Комментарии
E11=$C$21*($D$6-$D$4)*$F$4*D23
154 2 8 9 12 13 14 15 16 17 18 19 B Статьи Итого чистый доход Доход на улучшения Доход ФВ Доход на землю Реверсия земли Итого доход на землю Фактор дисконта Текущая стоимость C 0 D E Номер года, q 1 2 452 452 100 70 302 332 50 50 50 0,909 45 50 0,826 41 F 3 452 37 366 50 500 550 0,751 413 Комментарии
Из сравнительного анализа рассмотренных выше примеров может возникнуть вполне законный вопрос: почему при разных значениях чистого операционного дохода возникает одна и та же стоимость? Такое совпадение имеет условный характер. В действительности должна иметь место другая ситуация. При одном и том же чистом операционном доходе, но разных схемах износа и, как следствие этого, разных схемах его компенсации за счет фонда возмещения, стоимость оцениваемого объекта будет разной, т.е. схемы износа и возмещения влияют на конечный результат – оценку рыночной стоимости. Как показано на Рис. 3.11 разность результатов оценок достаточно сильно проявляется при малых сроках экономической жизни и в меньшей степени при больших сроках. Рис. 3.11. Изменение оценки стоимости Изменение стоимости 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Срок экономической жизни, лет
Ряд1 Ряд2
http://www.natahaus.ru/
На рисунке по оси ординат представлено изменение оценки стоимости объекта оценки (в относительно результата оценки, полученного при использовании линейной схемы износа. Ряд 1 на рисунке иллюстрирует сравнительное (относительно модели Ринга) изменение оценки стоимости для модели Хоскольда, ряд 2- для модели Инвуда. Итак, мы рассмотрели вариант оценки для полностью амортизируемого актива. При оценке актива, часть которого является амортизируемой, необходимо использовать следующее выражение:
V = ∑
I 1 − ( V − V L ) Ч (Y − iP ) Ч SFF(n, iP ) Ч S(q - 1, iP ) VP + , (3.64) q q =1 (1 + Y) ( 1 + Y )k k
где стоимость реверсии Vp определяется следующим образом:
VP =
I1 − (V − VL )Ч ( Y − iP )Ч SFF( n,iP )Ч S( k ,iP ) . VBk Ч SFF( n − k ,iP ) Y+ VBk + VL
(3.65)
Здесь неамортизируемой частью актива является стоимость земли VL. Можно показать, что при постоянных значениях ставки дисконта выражение (3.64) может быть сведено к следующему виду: V= I1 VB Ч SFF( n,iP ) Y+ VB + VL
.
(3.66)
Выражение для оценки рыночной стоимости актива (3.66) представляет собой уравнение с двумя неизвестными: VL и VB. Его решение может быть получено, если одно из неизвестных будет задано. Таким неизвестным может быть оценка рыночной стоимости земельного участка как условно свободного. Представленные выше выкладки представляют собой экономико-математическую базу оценки рыночной стоимости методом анализа дисконтированных денежных потоков.
3.4.2. Метод капитализации по расчетным моделям Капитализация постоянного потока доходов
156
Если ежегодные денежные потоки неизменны и ставка дисконтирования постоянна, для оценки рыночной стоимости можно использовать выражение (2.1), которое можно записать так: Vo = a( n,Y )Ч I + Vo −VB , ( 1 + Y )n (3.67)
где разность Vo-VB представляет собой стоимость реверсии, n − cрок экономической жизни амортизируемой части актива. Можно показать, что ( 1 + Y )n = 1 + Y . SFF( n,Y ) (3.68)
Далее, воспользуемся соотношением между шестой и третьей функциями сложного процента [12]: 1 = Y + SFF( n,Y ) . a( n,Y )
С учетом двух последних соотношений, выражение (3.67) можно привести к следующему виду: Vo ЧY = I −VB Ч SFF( n,Y ) (3.69)
или Vo = I , Y + B Ч SFF( n,Y ) (3.70)
где B − доля амортизируемой части актива: B= VB , VB + VL (3.71)
а сумма Y + B Ч SFF( n,Y ) − модель общего коэффициента капитализации:
R = Y + B Ч SFF( n,Y ).
(3.72)
С учетом (3.72) формулу для оценки рыночной стоимости объекта недвижимости можно выразить следующим образом: Vo = I . R (3.73)
Формула (3.73) с учетом (3.71) и (3.72) представляет собой конечное алгебраическое выражение − расчетную модель, которая используется при оценке рыночной стоимости объекта недвижимости методом капитализации по норме отдачи на капитал при условии постоянства потоков доходов [12]. С математической точки зрения модель оценки (3.73)
http://www.natahaus.ru/
является частным случаем метода капитализации доходов по норме отдачи на капитал в его развернутом виде. С учетом (3.71) и (3.72) выражение для оценки рыночной стоимости (3.73) представляется в виде: V= I VB Ч SFF( n,Y ) Y+ V B + VL .
(3.74)
Уравнение (3.74) содержит два неизвестных VB и VL и может быть представлено в виде следующего квадратного уравнения A ЧVL2 + D ЧVL + C = 0 , (3.75)
где A=Y; on on D=2ЧYЧVB+VBЧSFF(n,Y) -I=YЧVB+VBЧ[Y+SFF(n,Y)] - I= I B − I L ; on C=[Y+SFF(n,Y)] Ч(VB)2-IЧVB=VB Ч ( I B − I ) = −I L VB .
(3.76) (3.77) (3.78)
Уравнение (3.75) имеет два корня: VL,1 − D + D2 − 4 AC − D − D2 − 4 AC = ; VL,2 = . 2A 2A
Для того чтобы выбрать один из них в качестве решения, проведем анализ коэффициентов (3.76)- (3.78) этого уравнения. После некоторых упрощений коэффициенты можно записать что A=Y; on on D = IB − IL ; on C = − I L Ч VB .
(3.79) (3.80) (3.81)
С учетом (3.79)-(3.81) уравнение (3.75) можно записать следующим образом: on on on Y ЧVL2 + ( I B − I L )ЧVL − I L ЧVB = 0 .
(3.82)
Последнее имеет очевидное решение: VL1,2 = on on − IB − IL ±
(
) (I
on B
on − IL
)
2
on + 4Y Ч I L ЧVB
2Y on Y Ч VB = I B .
.
(3.83)
Заметим, что (3.84)
После подстановки (3.84) в (3.83) получим
158 on on on on − IB − IL ± IB + IL . 2Y
VL1,2 =
(
) (
)
(3.85)
Из анализа знаков (3.85) следует, что существует единственное экономическое решение: VL1 = on IL . Y
(3.86)
Таким образом, для решения уравнения (3.75) (оценки стоимости земельного участка) необходимо задаться величиной рыночной стоимости улучшений VB, которую можно оценить при анализе наиболее эффективного использования, и произвести расчеты по формуле соответствующей первому корню уравнения: − D + D 2 − 4 AC . VL1 = 2A
Заметим, что для оценки земельного участка уравнение (3.74) мы разрешили относительно переменной VL. Очевидно, что оно может быть успешно использовано для оценки стоимости улучшений. В этом случае его необходимо разрешить относительно стоимости улучшений, и выполнить экономический анализ получаемых корней. В начале данного раздела мы ввели предположение об оценке объекта недвижимости при условии возврата амортизируемой части актива по модели Инвуда, для которой, как было показано выше, характерно постоянство совокупного денежного потока доходов. В общем случае с учетом предпосылки Хоскольда расчетная модель для оценки рыночной стоимости методом капитализации по норме отдачи на капитал имеет следующий вид: Vo = I , Y + B Ч SFF( n,iP ) VB . VB + VL VL − Vo . Vo (3.87)
где B= (3.88)
Выражение (3.88) можно переписать иначе: B=−
Заметим, что его числитель можно интерпретировать как абсолютное изменение стоимости актива в конце срока экономической жизни, а отношение числителя и знаменателя − как относительное изменение. Обозначим, в общем случае, относительное изменение стоимости актива через Δ k:
http://www.natahaus.ru/
Δk =
VPk − Vo . Vo
(3.89)
где VPk − стоимость реверсии в момент времени k. С учетом (3.89) выражение для оценки рыночной стоимости актива можно записать так: Vo = I . Y − Δk Ч SFF( k ,iP ) (3.90)
Знаменатель этой формулы представляет собой модель общего коэффициента капитализации: R = Y − Δk Ч SFF( k ,iP ) . (3.91)
Аргумент фактора фонда возмещения k в данном случае есть временной период, в течение которого актив изменяет свою стоимость на величину Δ k. Износ актива за период времени k в абсолютном выражении, c учетом ранее определенной функции (2.18), равен
Рассмотрим числовой пример оценки объекта недвижимости со следующими исходными данными при разных сроках анализа изменения его стоимости. Пример 3.8
Предположим, что объект недвижимости общей стоимостью в 2036 у.е. генерирует доход первого года I, равный 300 у.е. При этом стоимость улучшений в объекте VB оценивается в 1536 у.е., а срок их экономической жизни n равен 10 годам. Норма прибыли по альтернативным инвестициям Y равна 10% и ставка процента фонда возмещения iP равна также 10%. Требуется методом капитализации по расчетной модели оценить стоимость объекта для временных промежутков k в 10 лет и 3 года соответственно. Для решения поставленной задачи выполним промежуточные расчеты: Параметры SFF(k,ip) bal(n,k,ia) k=3 0,302 0,792 -0,157 k=10 0,0628 0 -0,754
Для разных периодов времени прогноза мы получили один и тот же результат. Это подтверждает ранее полученный вывод: оценка рыночной стоимости не зависит от длительности прогнозного периода.
Мы рассмотрели изменение стоимости актива с учетом износа амортизируемой его части. Однако актив может изменить свою конечную стоимость вследствие каких-то дополнительных рыночных причин. Обозначим такое изменение стоимости актива через
δ kp . Тогда выражение для оценки относительного изменения стоимости актива можно записать так: VB Ч ( δ kp + 1 ) Ч dep( n,k ,ia ) + δ kp . Vo
Δk = −
(3.93)
Пример 3.9
Предположим, что объект недвижимости был приобретен за 1500 у.е. Из них за землю было заплачено 500 у.е. Срок экономической жизни улучшений равен 10 годам. Ставка процента функции износа равна 5. Требуется определить изменение стоимости актива к концу срока экономической жизни. Итак, имеем: δ kp =0, bal( n,k ,ia ) =0. Следовательно Δk = − 1000 Ч ( 0 + 1 )Ч 1 + 0 = −0,6667 . 1500 VL −Vo 500 − 1500 = = −0,6667 . Vo 1500
Этот же результат можно получить по формуле (3.89):
Δk =
Предположим теперь, что стоимость продажи (земли) выросла на 20% и стала равной 600 у.е. Такое увеличение стоимости соответствует величине δ kp =0,2. Выполним расчет: 1000 ( 0,2 + 1 )Ч 1 + 0,2 = −0,6 1500
Δk = − или
Δk =
VL −Vo 600 − 1500 = = −0,6 . Vo 1500
http://www.natahaus.ru/
Пусть теперь прогнозный период равен 5 годам и актив в целом возрос в цене на 20%. Рассчитаем процент износа за 5 лет: dep( 10;5;5%) = 0,44 , т.е. стоимость здания упала на 44% вследствие естественного износа и стала равной 560 у.е. Но так как в целом в соответствии с условиями задачи актив возрос в цене на 20%, стоимость его продажи стала равной (500+560)Ч(1+0,2)=1272 у.е. Следовательно, общее изменение стоимости актива VL −Vo 1272 − 1500 = = −0,152 . Vo 1500
Δk =
Теперь воспользуемся формулой (3.93):
Δk = −
1000 Ч ( 0,2 + 1 )Ч 0,44 + 0,2 = −0,152. 1500
Результаты рассмотренной задачи подтверждают корректность формулы (3.93). Капитализация регулярно изменяющихся потоков доходов
Под регулярно изменяющимся будем понимать такой поток доходов, тенденция изменения которого поддается математической формализации, т.е. может быть представлена в виде некоторого конечного математического выражения. Типичным примером регулярно изменяющегося потока является поток доходов объекта недвижимости, собственник которого для компенсации инфляционной потери покупательной способности денег вынужден ежегодно на фиксированный процент повышать арендные ставки. Исходя из этого оценщик, моделируя наиболее вероятное поведение собственника, при прогнозе доходов и расходов в течение холдингового периода в явном виде должен предусмотреть изменение потока доходов в течение этого периода, например, из-за той же инфляции. Возможность же оценки реверсии на базе дохода первого послепрогнозного года как текущей стоимости оставшегося потока доходов у оценщика отсутствует. Следовательно, при использовании расчетной модели, он обязан предусмотреть возможность корректировки либо дохода первого послепрогнозного года, либо коэффициента капитализации для того, чтобы учесть влияние этого изменения на стоимость реверсии. Основная идея оценки регулярно изменяющихся потоков доходов состоит в том, что для учета влияния их изменения на стоимость корректируется соответствующим образом либо доход первого года, либо коэффициент капитализации. Так, если поток доходов возрастает, коэффициент капитализации уменьшается, и, наоборот, при уменьшении потока доходов коэффициент капитализации увеличивается.
162
В общем случае коэффициент коррекции можно определить следующим образом: (1+Y ) . I1 Ч a( k ,Y ) q =1 q
∑
k
Iq
(3.94)
Kc =
Данный коэффициент представляет собой фактор коррекции дохода первого года. Он численно равен отношению текущей стоимости переменного потока и текущей стоимости аннуитета потока доходов, каждый из которых равен доходу I1 первого года. Заметим, что выражение (3.94) в действительности позволяет определить коэффициент коррекции для любого потока доходов: регулярного и нерегулярного. Однако если динамика изменения потока доходов поддается какой-либо математической формализации, то, в зависимости от характера изменения оцениваемого потока доходов, коэффициент коррекции может быть выражен в явном виде. Для определения коэффициента капитализации используется следующая модифицированная формула: R= R* , Kс (3.95)
где R∗ – коэффициент капитализации без учета изменения потока доходов, Kс – корректирующий коэффициент. Рассмотрим полученный результат применительно к известным в теории оценки недвижимости следующим моделям регулярного изменения дохода [50]: • по экспоненте; • по кривой, соответствующей накоплению фонда возмещения; • прямолинейно. Доход, изменяющийся по экспоненте
Наиболее распространенной моделью изменения доходов является их ежегодное экспоненциальное увеличение: I q = I1( 1 + с )q−1 , где с −индекс инфляции. С практической точки зрения это означает, что собственник для компенсации потерь, например от инфляции, вынужден ежегодно повышать арендную плату в соответствии с инфляционным индексом. В соответствии с (3.94) коэффициент коррекции для данного варианта определяется следующим образом:
http://www.natahaus.ru/
I1 Ч( 1 + с )q−1 q =1 ( 1 + Y )q , Kc = I1 Ч a( k ,Y ) ∑ k
(3.96)
или, после соответствующих преобразований, мы приходим к известному выражению[27]: Kс = 1 − (1+ с)k Ч ( 1 + Y )−k . ( Y − c )Ч a( k ,Y )
(3.97)
Для иллюстрации корректности полученных выражений рассмотрим численные примеры оценки доходного актива. Пример 3.10
Требуется оценить рыночную стоимость доходного актива. Известно, что на дату оценки актив генерирует годовой чистый операционный доход в размере I=100 у.е. Планируется, что в дальнейшем доход будет увеличиваться каждый год на 2% по сложному проценту (c=2%). Срок экономической жизни актива n=5 лет. Ожидаемая норма отдачи на инвестиции Y=10%. Решение задачи рассмотрим двумя способами: методом DCF-анализа и с использованием расчетной модели. Метод DCF-анализа В соответствии с условиями примера построим DCF-таблицу (см. Табл. 3.7) Таблица 3.7 Статьи 1 2 ЧОД 100,0 102,0 Фактор дисконта 0,91 0,83 Текущ. Стоимость 90,91 84,30 Сумма текущих стоимостей равна 393 Номер года 3 104,0 0,75 78,17 4 106,1 0,68 72,48 5 108,2 0,62 67,21
Из Табл. 3.7 следует, что рыночная стоимость актива как сумма текущих стоимостей потока доходов равна 393 у.е. Оценка по расчетной модели: V = I1 Ч a( k ,Y )Ч Kc = I1 Ч Kc . Y + SFF( k ,Y )
Результаты совпали, что говорит о корректности формулы для оценки коэффициента (3.97). Выше было отмечено, что коэффициент коррекции может быть использован для расчета стоимости реверсии. В этом случае выражение для его оценки будет следующее: 1 − (1+ сk+1 )(n-k) Ч ( 1 + Y )−( n−k ) . Kсk+1 = ( Y − ck+1 ) Ч a( n − k ,Y )
Здесь k − прогнозируемый период владения, n − срок экономической жизни, Kсk+1 − коэффициент коррекции дохода (k+1) года, ck+1 − относительное изменение дохода за год: сk+1=(Ik+1-Ik)/Ik. Проверим справедливость данной формулы на следующем примере. Пример 3.11
Требуется оценить рыночную стоимость доходного актива. Известно, что на дату оценки актив генерирует годовой чистый операционный доход в размере I=100 у.е. Планируется, что в дальнейшем доход будет увеличиваться каждый год на 2% по сложному проценту (c=2%). Срок экономической жизни актива n=10 лет. Прогнозируемый период владения k=5 лет. Ожидаемая норма отдачи на инвестиции Y=8%. Решение задачи выполним с использованием расчетной модели в двух вариантах: А и В. В варианте А выполним оценку по расчетной формуле с учетом всего срока экономической жизни: V= I1 Ч Kc . Y + SFF( n,Y )
А в варианте В по формуле DCF-анализа с учетом прогнозируемого периода владения: V=∑ k
Iq ( 1 + Y )q
q =1
+
Vp ( 1 + Y )k
.
Оценка стоимости по варианту А
http://www.natahaus.ru/
V = =
I1 I1 1 − (1+ с)n Ч ( 1 + Y )−n = Ч Kc = Ч Y + SFF( n,Y ) ( Y − c ) Ч a( n,Y ) Y + SFF( n,Y )
Оценка стоимости по варианту В Для оценки по данному варианту предварительно рассчитаем необходимые исходные данные (см. Табл. 3.8).
Таблица 3.8 Статьи ЧОД Фактор дисконта Текущ. Стоимость 1 100,0 0,93 92,59 2 102,0 0,86 87,45 Номер года 3 4 104,0 106,1 0,79 0,74 82,59 78,00 5 108,2 0,68 73,67 6 110,4
Оценку стоимости реверсии выполним на базе дохода k+1 года: Vp = I k +1 Ч Kсk+1 , Y + SFF( n − k ,Y )
где Kсk+1 = 1 − (1+ сk+1 )(n-k) Ч ( 1 + Y )−( n−k ) I −I ; c k +1 = k + 1 k . ( Y − ck+1 ) Ч a( n − k ,Y ) Ik
После подстановки наших исходных данных при k+1=6 получим следующие результаты: c6 = 1 − (1+ 0,02)(10-5) Ч ( 1 + 0,08 )−( 10−5 ) 110,4 − 108,2 = 1,0376 . = 0,02 ; Kс6 = ( 0,08 − 0,02 )Ч a( 10 − 5;8%) 108,2
Vp =
110,4 Ч 1,0376 = 457,4 . 0,08 + SFF( 10 − 5;8%)
Итоговые расчеты сведены в Табл. 3.9. Таблица 3.9 Статьи 1 ЧОД 100,0 Фактор дисконта 0,93 Текущ. стоимость 93 Сумма текущих стоимостей V=726 2 102,0 0,86 87 Номер года 3 104,0 0,79 83 4 106,1 0,74 78 5 108,2+457,4 0,68 385
166
Результаты оценки по вариантам А и В совпали, что также говорит о корректности формул для оценки корректирующего коэффициента. Другим вариантом нелинейного изменения потока доходов является вариант, соответствующий изменению потока доходов в соответствии с накоплением фактора фонда возмещения. Доход, изменяющийся по кривой, соответствующей накоплению фонда возмещения
Особенность его формирования состоит в характере темпа роста потока доходов. Темп роста потока доходов при данной модели изменения формируется в соответствии с динамикой накопления фонда возмещения до прогнозируемой конечной величины дохода в конце рассматриваемого периода. Суть данного подхода рассмотрим на примере со следующими исходными данными. Пример 3.12
1. Чистый операционный доход первого года I1 = 50 000 у.е. 2. Прогнозируемый период k =10 лет. 3. Норма отдачи на капитал Y=10%. 4. Ставка процента фонда возмещения iP =5%. 5. Чистый операционный доход последнего года I10=60000 у.е. В соответствии с основной идеей подхода ежегодное увеличение потока доходов должно формироваться следующим образом:
ΔIq = ΔIk Ч SFF( k ,ip )Ч S( q − 1,ip ) .
(3.98)
В нашем случае имеем: ΔIk=10000 у.е., фактор фонда возмещения SFF(k,ip)=0,0795. Ориентируясь на формулу (3.94), рассчитаем коэффициент коррекции. Исходные данные для расчета будут следующие: Номер года NOI Фактор дисконта Текущая стоимость СУММА за 1-10 годы 1 2 50000 50795 0,909 0,826 45455 41979 327824 3 51630 0,751 38790 4 52506 0,683 35863 5 53427 0,621 33174 6 54393 0,564 30704 7 55408 0,513 28433 8 56473 0,467 26345 9 57592 0,424 24425 10 11 58767 60000 0,386 22657
Используя эти данные, рассчитаем коэффициент коррекции: Kc = 327824 = 1,067 . 50000 Ч 6,144
http://www.natahaus.ru/
Поток доходов, изменяющийся в соответствии с накоплением фонда возмещения, поддается математической формализации. Для этого необходимо закон изменения потока доходов (3.98) подставить в формулу (3.94): ∑ k
После преобразований на базе формул финансовой математики получим Kс=1+δIЧJ, (3.100)
где ΔI – относительное изменение дохода: ⎞ ⎛ ( 1 + i p )k ⎜ −1 ⎟ SFF( k ,ip ) ⎜ 1 I −I ⎟ ( 1 + Y )k δI = k 1 , а J = − 1⎟ 35 . Ч⎜ Ч ip a( k ,Y ) ip − Y I1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
После подстановки в формулы исходных данных задачи получим, что J=0,335, Кс=1+0,2Ч0,335=1,067.
Отсюда с учетом формулы (3.95) имеем R=0,0965 и V=50 000/0,0965=518103. Если предположить, что изменение потока доходов планируется, начиная с первого года эксплуатации, то выражение для оценки J фактора будет иметь несколько иной вид: ⎛ ⎞ ( 1 + i p )k ⎜ −1 ⎟ k SFF( k ,ip ) ⎜ 1 + ip ⎟ (1+Y ) J= Ч⎜ Ч − 1⎟ . ip a( k ,Y ) ip − Y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
В частном случае при ip→Y формула для оценки J фактора преобразуется к следующему ее классическому виду[53]: J= ⎞ SFF( k ,Y ) ⎛ k Ч⎜ ⎟ ⎜ a( k ,Y ) − 1⎟ . Y ⎠ ⎝
Доход, изменяющийся на постоянную величину
Для некоторых рынков может быть характерной практика ежегодного изменения доходов на постоянную величину: I q = I1 + qΔI . Аналогичным образом можно показать, что в этом случае коэффициент коррекции 35
В теории оценки константа J называется J-фактором.
168
Kc = 1 +
ΔI ⎛
Ч⎜k − I1 ⎝
k Ч Y + k Ч SFF( k ,Y ) − 1 ⎞ ⎟. Y ⎠
Здесь k − прогнозный период. Мы рассмотрели технику оценки коэффициента коррекции с использованием формулы (3.94) для трех классических моделей изменения потока доходов. Очевидно, что в реальной жизни таких моделей может быть гораздо больше. Главным критерием здесь, как всегда, могут быть только традиции, складывающиеся на оцениваемом рынке. Тем не менее, представленный выше алгоритм может быть использован для оценки коэффициента коррекции при любых тенденциях изменения потока доходов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «МЕТОД КАПИТАЛИЗАЦИИ ПО НОРМЕ ОТДАЧИ НА КАПИТАЛ» з дисципліни «Оцінка дохідної нерухомості»
относительно результата оценки, полученного при использовании линейной схемы износа. Ряд 1 на рисунке иллюстрирует сравнительное (относительно модели Ринга) изменение оценки стоимости для модели Хоскольда, ряд 2- для модели Инвуда. Итак, мы рассмотрели вариант оценки для полностью амортизируемого актива. При оценке актива, часть которого является амортизируемой, необходимо использовать следующее выражение: 