Отправным моментом актуарного анализа является определение стоимости страхового аннуитета. Для записи формул введем следующие обозначения для стоимостей годовых аннуитетов постнумерандо: ах — для немедленного пожизненного аннуитета, ax:t, — для немедленного ограниченного аннуитета, пхйх — для отложенного пожизненного аннуитета, п\ахи] ~" ДЛЯ отложенного ограниченного аннуитета. Аналогичная символика применяется и для аннуитетов пре-нумерандо, однако вместо символа а записывается а. Пусть лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается по 1 рублю (аннуитет пожизненный, постнумерандо, немедленный). Тогда
** = />* * v + 2/>* * v2 + • + <*-хРх * v
СО-X а-
342
'*t I * V (r+2 * ^ , + Cxv" Умножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на v*. После чего можно применить коммутационные функции Dx и Nx для расчета немедленного, пожизненного аннуитета постну-мерандо с ежегодными выплатами :
2'«.
xvx*J
/,xv* Dx Аналогичным образом определим стоимости других видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с ежегодной выплатой по 1 руб. имеем: ах -l + ^xv + 2/>J(xv2+... + (0.^Jcxvfl,-x - frt—V Ш Nx yx+J lx X VX Ac Нетрудно убедиться в том, что **х = ах + 1 ИЛИ ах+\ * V = ах* Формулы для расчета различных видов годовых аннуитетов приведены в табл. 16.3. ПРИМЕР 16.6. Определим стоимость отложенного на 20 лет, ограниченного 5 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 30 лет. Находим Nso " N55 10465,3 - 5826,7 огмЛол ci = —— — = = 0,63453. 20|лзо:51 Озо уЗЮ.З v.oowo. В табл. 16.3 приведены формулы для годовых аннуитетов. Если платежи выплачиваются т раз в году, то в формулах вместо Nx следует использовать Nx^m) или N^m\ Приведем формулы для соответствующих аннуитетов при условии т- 12. 343
Формулы для расчета стоимостей а
Вид аннуитета
Постнумерандо
Немедленный пожизненный
я =
х+1 К Л
(16.17)
AL
Отложенный на п лет пожизненный Немедленный, ограниченный (выплаты в течение t лет) Отложенный на п лет, ограниченный (выплаты в течение t лет)
уу(12) _ дг(12) д'12' ш х + п X + W+/ ш п\ х:<] л "х ™х+п ~ ™х+я+/ "~ ^Т ["х+п ~ Vx+n+t)
(16.28)
ПРИМЕР 16.7. Для условий примера 16.6, но с ежемесячными выплатами, получим: Ш* 30:51" П 10465,3 - 5826,7 - ;$j(l 124,8 - 673'1) —24^ L . 0,60484. 731Q3 Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следующие соотношения. Немедленный пожизненный аннуитет: 345
д(.2> *С **+, , И Dx Dx 24 Немедленный ограниченный аннуитет: в(12) ш JC-»I Х+/+1 ш х-А D
(16.29) (16.30)
24_ ^х+1 - ^x*t*\ + ^т(^*+1 - At+/+l)
Отложенный на п лет пожизненный аннуитет: ,т лг<12>, лгх+#+|+-1дг+.+1 -(12) ш «♦,♦! 24 . (16.31) Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуитет: „и» „и» п\ х:(] п °* (16.32) ^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l) Современные стоимости регулярных потоков платежей (обозначим их, как это принято в финансовой математике, через Ах) определяются элементарно. Если размер годового платежа равен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых платежей пренумерандо имеем Ах = R х ах> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Лх = Rx JLXVL Т.Д. ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких вариантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегодные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма годового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4. 346
Таблица 16.4
Вид Постнумерандо Пренумерандо потока годовые ежемесячн. годовые ежемесячн. Немедл. Отложен. Пожизнен. Огранич.Пожизнен. Огранич. 9334 61565529 3776 9792 64155788 3941 10 334 67736153 4171 9875 64905867 3990 Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхового аннуитета: — демографический фактор, отражаемый таблицей смертности, — процентная ставка (установленная норма доходности), — длительность отсрочки выплат, — срок аннуитета. Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России демографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедленных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух вариантов процентной ставки — 9 и 5 % . Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов
1 = 9% i = 5% Возраст Мужчины Женщины Мужчины Женшивы 18 11,54 11,87 18,20 19,33 30 11,04 11,61 16,65 18,22 40 10,33 11,17 14,86 16,80 50 9,30 10,41 12,65 14,50 60 7,92 9,17 10,11 12,16 70 6,25 7,22 7,44 8,16 Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость аннуитета для женщин выше, чем для мужчин. Влияние процентной ставки очевидно — повышение процентной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и 347
табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих равных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, естественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2). л|»х О) - П
Рис 16.1
Рис 16.2
В следующей главе показано, как стоимости страховых аннуитетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах личного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стоимость страхового аннуитета» з дисципліни «Фінансова математика»
