Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инвестиций и риска еще в одном аспекте, а именно, — определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, следовательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вернемся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысле структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что портфель, как и выше, состоит из двух видов бумаг Хи К Их доли в портфеле составляют ах и 1— а# а дисперсии Dx и Dy. Общая дисперсия определяется по формуле (8.5). Поскольку эта функция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда Формулу (8.12) обычно приводят в аналитической финансовой литературе. Однако, для того, чтобы ею можно было воспользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-видимому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем отношение дисперсий: Dx/y=Dx/Dy. (8.13) 178
Разделим теперь числитель и знаменатель (8.12) на Dy, получим ъ-тттт- (814) х/у При наличии корреляции между показателями доходов обратимся к (8.6). Минимум этой функции имеет место в случае, когда D — г о о °х D +D -2г оо9 ( } х у *'ху х у или, использовав отношение дисперсий (8.13), получим l-rxyjDx/y ,й -,. ах " т—. (8.16) &х/у + * " 2гхуу&х/у Как видно из приведенных формул, расчетная величина доли одной из бумаг может при некоторых условиях оказаться отрицательной. Отсюда следует, что этот вид бумаги просто не должен включаться в портфель. ПРИМЕР 8.2. Вернемся к данным примера 8.1 и определим структуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что ох = 0,8; оу= 1,1. При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (8.15) 1,12-1 х 0,8x1,1 *х 0,82+ 1,12-2х 1 х0,8х 1,1 Соответственно, ау < 0. Следовательно, минимальная дисперсия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бумаги вида X. Средний доход от портфеля равен 2. При полной отрицательной корреляции находим 1,1» - (-1)0,8 ж 1,1 лс„ д — , = Л K7Q х 0,82 - 1,12 - 2(-1)0,8 х 1,1 * * ау= 1 -0,579 = 0,421. Дисперсия в этом случае равна нулю (см. рис. 8.4), а средний доход составит 2,421. 179
Наконец, при отсутствии корреляции получим по формуле (8.12) ах = 0,654; ау = 1 - 0,654 = 0,346. Дисперсия дохода при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход равен 2,346. Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг X, Y, Z. Их доли ах, ау и az = 1 - (ах + а). Дисперсия дохода от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит D = a2 DL + a2 D + [1 - (ах + av)]2D7. х х у У 1 х У Z Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:
А У/1 a* = -D~D. 'x/z "y/z + Dx/z + Dy/z
X/Z аУ D , D , + D , + D , x/z y/z x/z "y/z He будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с л составляющими. Допустим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства1 и приведем результат в матричном виде:
А = £Г'е,
(8.17)
где е — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля, 1 + 1 D2 + 1 I 1 *»-! 4.-1 D„
180
Доказательства приведены в Математическом приложении к главе.
А -— вектор, характеризующий п — 1 элементов структуры портфеля. Матрица D имеет размерность (л — 1) х (л — 1). ПРИМЕР 8.3. Эксперты оценили следующие отношения дисперсий для портфеля, состоящего из четырех видов бумаг: D1/4 = 1,5; D2/4 = 2; D3/4 =1. По формуле (8.17) получим
[2,5 1 11 -1 [0,210] 1 3 1 хв- 0,158 | 1 12 0,316 3 а4-1-Ёа/"1-0'684"0'316- Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дисперсию дохода, с п составляющими при наличии корреляции определить так же просто, как это было сделано выше, нельзя. Однако решение существует, хотя его получение достаточно хлопотное дело, да и вряд ли оно необходимо для практики. Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим является максимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, выходящего за рамки настоящего учебника. Поэтому ограничимся лишь замечанием о том, что метод Г. Марковица, который заключается в разработке и решении специальной модели нелинейного программирования с использованием показателей доходов и дисперсий, в теоретическом плане не вызывает возражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные подводные камни. Затронем лишь одну проблему — какой срок для расчета дисперсий следует принять во внимание? Если ограничиться небольшим сроком, то получим наиболее приближенные к современности данные. Однако они могут оказаться неустойчивыми, содержать много "шума", с другой стороны, стремление охватить максимальный срок неизбежно приведет к устареванию данных.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Минимизация дисперсии дохода» з дисципліни «Фінансова математика»
