Распределение Больцмана может быть выведено еще и со- всем иным способом, непосредственно из условия максималь- ности энтропии газа в целом, рассматриваемого как замкну- тая система. Этот вывод представляет существенный самосто- ятельный интерес, поскольку он основан на методе, дающем 146 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV возможность вычислить энтропию газа, находящегося в произ- вольном неравновесном макроскопическом состоянии. Всякое макроскопическое состояние идеального газа можно характеризовать следующим образом. Распределим все кванто- вые состояния отдельной частицы газа по группам, каждая из которых содержит близкие состояния (обладающие, в частно- сти, близкими энергиями), причем как число состояний в каж- дой группе, так и число находящихся в них частиц все же очень велики. Перенумеруем эти группы состояний номерами j = 1, 2,... , и пусть Gj есть число состояний в j-й группе, a Nj — число частиц в этих состояниях. Тогда набор чисел Nj будет полностью характеризовать макроскопическое состояние газа. Задача о вычислении энтропии газа сводится к задаче об оп- ределении статистического веса АГ данного макроскопическо- го состояния, т. е. числа микроскопических способов, которыми это состояние может быть осуществлено. Рассматривая каждую группу из Nj частиц как независимую систему и обозначая сим- волом APj ее статистический вес, можем написать: АГ = ПАГг D0Л) з Таким образом, задача сводится к вычислению APj. В статистике Больцмана средние числа заполнения всех квантовых состояний малы по сравнению с единицей. Это зна- чит, что числа Nj частиц должны быть малы по сравнению с числами Gj состояний (Nj <С Gj), но, конечно, сами по се- бе все же очень велики. Как было объяснено в § 37, малость средних чисел заполнения позволяет считать, что все частицы распределяются по различным состояниям совершенно незави- симо друг от друга. Помещая каждую из Nj частиц в одно из Gj состоянии, получим всего G возможных распределении, сре- ди которых, однако, есть тождественные, отличающиеся лишь перестановкой частиц (частицы все одинаковы). Число переста- новок Nj частиц есть A/j!, и таким образом, статистический вес распределения Nj частиц по Gj состояниям равен ATj = Gfj/Nj\. D0.2) Энтропия газа вычисляется как логарифм статистического веса з Подставив D0.2), имеем 40 НЕРАВНОВЕСНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ 147 Имея в виду, что числа Nj велики, воспользуемся для lnTVj! при- ближенной формулой1) lnTV! ^Nln(N/e) D0.3) и получим 5 = Е^1п^- D0-4) 3 Эта формула решает поставленную задачу, определяя энтро- пию идеального газа, находящегося в произвольном макроско- пическом состоянии, определяющемся набором чисел Nj. Пере- пишем ее, введя средние числа nj частиц в каждом из квантовых состояний j-й группы: nj = Nj/Gj. Тогда S = ^Gjnjhi=. D0.5) з Если движение частиц квазиклассично, то в этой форму- ле можно перейти к распределению частиц по фазовому про- странству. Разделим фазовое пространство частицы на участ- ки Ар^ Aq^\ каждый из которых мал, но содержит все же боль- шое число частиц. Числа квантовых состояний, приходящихся на эти участки, равны (г — число степеней свободы частицы), а числа частиц в этих со- стояниях напишем в виде Nj = n(p,q)Ar^\ где n(p, q) — плот- ность распределения частиц в фазовом пространстве. Подста- вляем эти выражения в D0.5), после чего, имея в виду, что участки Ат^> малы, а их число велико, заменяем суммирование по j интегрированием по всему фазовому пространству части- цы: S= [nln-dr. D0.7) J n В состоянии равновесия энтропия должна иметь максималь- ное значение (в применении к идеальному газу это утвержде- ние иногда называют Н-теоремой Больцмана). Покажем, ка- ким образом из этого требования можно найти функцию рас- пределения частиц газа в состоянии статистического равнове- сия. Задача заключается в нахождении таких nj, при которых х) При большом N можно приближенно заменить сумму lnTV! = lnl+ln2+... N ... + In N интегралом J In x dx, откуда и получается D0.3). о 148 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV сумма D0.5) имеет максимальное значение, возможное при до- полнительных условиях выражающих постоянство полного числа частиц N и полной энергии Е газа. Следуя известному методу неопределенных мно- жителей Лагранжа, надо приравнять нулю производные ^{S + olN + PE) = 0, D0.8) drij где а, /3 —некоторые постоянные. Произведя дифференцирова- ние, найдем Gj(- In га, + а + pej) = 0, откуда In гаj = a + /Зб j или Это —не что иное, как известное уже нам распределение Больц- мана, причем постоянные а и /3 связаны с Т и \i посредством соотношений1) а = 1л/Т, C = — 1/Т.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неравновесный идеальный газ» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
