Термодинамические соотношения в релятивистской области
Релятивистская механика приводит к ряду изменений в обычных термодинамических соотношениях. Мы рассмотрим здесь те из этих изменений, которые представляют наибольший интерес. Если микроскопическое движение частиц, составляющих те- ло, становится релятивистским, то общие термодинамические 100 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ соотношения не изменяются, но возникает важное неравенство между давлением и энергией тела Р < E/3V, B7.1) где Е— энергия тела, включающая в себя энергию покоя входя- щих в его состав частиц1) . Принципиальный интерес представляют изменения, вноси- мые общей теорией относительности в условия теплового рав- новесия при учете создаваемого самим телом гравитационного поля. Рассмотрим неподвижное макроскопическое тело; его гра- витационное поле будет, разумеется, постоянным. В постоянном гравитационном поле надо отличать сохраняющуюся энергию Eq какой-либо малой части тела от энергии Е, измеренной наблюда- телем, находящимся в данном месте; эти две величины связаны друг с другом соотношением где gQQ — временная компонента метрического тензора (см. II, § 88; формула (88.9) с v = 0, тс2 = Е). Но по самому смыслу при- веденного в § 9 доказательства постоянства температуры вдоль находящегося в равновесии тела ясно, что должна быть посто- янна величина, получающаяся дифференцированием энтропии по сохраняющейся энергии Eq. Температура же Т, измеренная наблюдателем, находящимся в данной точке пространства, по- лучается дифференцированием энтропии по энергии Е и, следо- вательно, будет различна в разных точках тела. Для вывода количественного соотношения замечаем, что эн- тропия по существу своего определения зависит исключительно от внутреннего состояния тела и потому не изменяется при по- явлении гравитационного поля (в той мере, в какой это поле не влияет на внутренние свойства тела, — условие, которое факти- чески всегда выполнено). Поэтому производная по энтропии от сохраняющейся энергии Eq будет равна T^JgQQ и, таким обра- зом, одно из условий теплового равновесия требует постоянства вдоль тела величины2) Т^?Ш = const. B7.2) 1)См. II, §35. Напомним, однако, что общего доказательства этого нера- венства, пригодного для всех существующих в природе (не только электро- магнитных) типов взаимодействия между частицами, в настоящее время не существует. 2) Уравнение B7.2) теряет смысл в точках, где g00 обращается в нуль. Та- кая ситуация имеет место в окрестностях так называемых черных дыр (см. II, § 102). Обсуждение термодинамических свойств этих объектов можно найти в сборнике статей: Черные дыры. —М.: Мир, 1978. {Примеч. ред.) § 27 СООТНОШЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ОБЛАСТИ 101 Аналогичным образом видоизменяется второе условие рав- новесия— постоянство химического потенциала. Химический потенциал определяется как производная от энергии по числу частиц. Поскольку число частиц, разумеется, гравитационным полем не изменяется, то для химического потенциала, измерен- ного в каждой данной точке, получаем такое же соотношение, как и для температуры: ^у/ёоо = const- B7-3) Заметим, что соотношения B7.2), B7.3) можно написать в виде dx° dx° Т = const • —, /i = const • —, B7.4) ds ds позволяющем рассматривать тело не только в той системе от- счета, в которой оно неподвижно, но и в таких, в которых оно движется (вращается как целое). При этом производная dx®/ds должна браться по мировой линии, описываемой данной точкой тела. В слабом (ньютоновском) гравитационном поле gm = 1 + + 2(^/с2, где (^—гравитационный потенциал (см. II, §87). Под- ставляя это выражение в B7.2) и извлекая корень, найдем в том же приближении Т = const- (l- J)- B7.5) Имея в виду, что (р < 0, находим, что при равновесии темпе- ратура выше в тех местах тела, в которых \ср\ больше, т.е. в глубине тела. При предельном переходе к нерелятивистской ме- ханике (с —>> оо) B7.5) переходит, как и следовало, в Т = const. Аналогичным образом можно преобразовать условие B7.3), причем надо иметь в виду, что релятивистский химический по- тенциал при предельном переходе к классической механике пе- реходит не непосредственно в обычное (нерелятивистское) выра- жение для химического потенциала в отсутствие поля, которое мы обозначим здесь символом /io, а в /io + mc2, где тс2 —энергия покоя отдельной частицы тела. Поэтому имеем J /i0 + тс2 + так что условие B7.3) переходит в /io + rrup = const, что совпадает, как и следовало, с B5.2). Наконец, укажем полезное соотношение, являющееся непо- средственным следствием условий B7.2) и B7.3). Разделив одно 102 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ГЛ. II на другое, найдем, что \ijT = const, откуда следует: d\ij\i = = dT/T. С другой стороны, согласно B4.12), при постоянном (равном единице) объеме имеем dP = S dT + N ф, где S,N — энтропия и число частиц единицы объема тела. Под- ставляя сюда dT = (T/ii)dii и замечая, что /j,N -\- ST = Ф + ST = = е + Р {е—энергия, отнесенная к единице объема), найдем искомое соотношение1) ф = JP_u B7<6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Термодинамические соотношения в релятивистской области» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
