Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений
Для нахождения первых поправочных членов к уравнению Больцмана надо вернуться к тем пунктам изложенных в § 16 вы- числений, в которых были произведены пренебрежения, и про- двинуть точность вычислений на один порядок (по параметру газовости) дальше. Эти пренебрежения относились, прежде все- го, к уравнению A6.9), в котором были опущены члены, содер- жащие тройную корреляцию /^3^; тем самым были исключены из рассмотрения тройные столкновения атомов. Кроме того, при преобразовании интеграла столкновения A6.12) к окончатель- ному виду A6.16) было пренебрежено изменением функции рас- пределения на расстояниях ~й!иза времена ~ d/v\ тем самым двойные столкновения рассматривались как «локальные» — про- исходящие в одной точке. Теперь должны быть учтены оба эти источника поправок — тройные столкновения и «нелокальность» парных столкновений. В первом приближении цепочка уравнений была оборвана на втором уравнении, связывающем f^ с /^. Во втором прибли- жении надо дойти до третьего уравнения, связывающего /C) с /D), причем члены с /D) в нем можно опустить (подобно тому, как в первом приближении были опущены члены с /C) в A6.9)). После этого оно сведется к виду |/C)(*,П,т2,тз)=0, A7.1) аналогичному прежнему уравнению A6.10) для f^] переменные ТЪ т2-> тъ в A7.1) предполагаются изменяющимися со временем согласно уравнениям движения задачи трех тел (причем взаи- модействие между частицами по-прежнему будем считать пар- ным1)). С учетом статистической независимости частиц перед х) В противоположность первому приближению (ср. примеч. на с. 90) те- перь это предположение несколько ограничивает общность рассмотрения, поскольку в тройных столкновениях могли бы проявляться и тройные вза- имодействия (т. е. члены в функции Гамильтона вида С/(г2 — ri, гз — ri)), не сводящиеся к парным. 96 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I столкновением решение уравнения A7.1) есть fW(t,TUT2,T3) = /A)(*о,тю)/A)(*о,т2о)/A)(*о,тзо)- A7.2) Величины to, тао (а = 1,2,3) имеют здесь такой же смысл, что и в A6.11); тао = тао(?,?о,тъТ2,тз) ~~ эт0 значения координат и импульсов, которые частицы должны иметь в момент to для того, чтобы к моменту t попасть в заданные точки тх, Т2, тз фазового пространства. Отличие от A6.11) состоит лишь в том, что теперь тао = (га(ьРао) являются начальными значениями координат и импульсов задачи трех (а не двух) тел, которую будем считать в принципе решенной1). Для записи и преобразования дальнейших формул целесооб- разно ввести оператор *Sx235 действие которого на функцию пе- ременных тх, Т2, тз (относящихся к трем частицам в задаче трех тел) заключается в замене этих переменных согласно Pa ^ Pa = PaO- Аналогичным образом, оператор Su будет производить такую же замену в функциях переменных тх, Т2, относящихся к двум частицам в задаче двух тел. Важное свойство преобразования A7.3) состоит в том, что при временах t — to ^> d/v оно переста- ет зависеть от времени. Действительно, при таких t — to частицы находятся далеко друг от друга и движутся свободно с постоян- ными скоростями vao = Рао/т] ПРИ этом значения rao зависят от времени как const — vao(t — to) и временная зависимость в A7.3) выпадает. Заметим также, что если частицы вообще не взаимодействовали бы, то преобразование A7.3) сводилось бы к тождеству: при свободном (в течение всего времени) движении правые части преобразований A7.3) тождественно совпадают с левыми. По той же причине, если одна из частиц, скажем, ча- стица i, не взаимодействует с частицами 2 и 5, то 5x23 = ?23; операторы же 5x2 и Sis в этих условиях сводятся к единице. В силу этих свойств очевидно, что оператор Gu3 = S123 — Su — Sis — S23 + 2 A7.4) обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимо- действует с двумя другими. Другими словами, этот оператор вы- ) Фактически, конечно, аналитическое решение задачи трех тел может быть осуществлено лишь в редких случаях (например, для твердых шари- ков). § 17 УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 97 деляет из функций ту часть, которая связана со взаимодействи- ем всех трех частиц (между тем как в задачу трех тел входят, как частные случаи, также и парные столкновения при свободно движущейся третьей частице). С помощью оператора Биз формула A7.2) запишется в виде /C>(t,Ti,T2,T3) = 51 A7.5) где /W(t, to, г) = /« (to, г - ^ (t - t0), p) A7.6) V т J (сдвиг аргумента г в J'1' введен для компенсации сдвига, произ- водимого оператором Двухчастичное распределение /B) получим, проинтегриро- вав функцию /C) по переменным тз, а интегрирование по Т2 и тз дает функцию распределения A7.7) A7.8) Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы из этих двух равенств (с /C) из A7.5)) путем исключения /^ с нужной точно- стью выразить /B) через f^'. Подставив затем это выражение в уравнение A6.7) (само по себе точное), мы получим искомое кинетическое уравнение. Для осуществления этой программы, прежде всего, преобра- зуем интеграл A7.8), выразив в A7.5) оператор й^з через Gu3 согласно A7.4). Имея в виду очевидные (в силу сохранения пол- ного числа молекул) равенства JQ,T2)dT1dT2 = 1, получим . A7.9) 4 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х 98 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Это уравнение можно решать относительно f^ последователь- ными приближениями, имея в виду, что (Si2 — 1) первого, a G123 второго порядка малости (ср. оценку правой части A6.9)). В ну- левом приближении: /^(?, to, т\) = f(l\t,r{). В следующих двух приближениях получим - 2 j(S12 - x/A)(t,r3)}dr2dr3. Теперь остается подставить это выражение в A7.5) и затем в A7.7), сохранив при этом лишь члены не более чем второго по- рядка малости (члены ~ (Si2 — IJ и ~ Gi2s)- В результате по- лучим окончательно J3)}dT3, A7.10) где = <Ъ123 — O12O13 — O12O23 + ^12- U'-J-JJ Подчеркнем, что порядок следования ^-операторов в их произве- дениях существен. Оператор S12S23, например, сначала заменяет переменные т\, Т2, т3 —>> т\, Т2(т2,тз), тз(т2,тз), причем функ- ции Т2${т2-)Т%) определяются по уравнениям движения взаимо- действующих частиц 2 и 5, а затем переменные т~1, Т2, т3 под- вергаются преобразованию ti, Т2, тз —)> ti(ti,T2), T2(ti,T2), тз, где теперь функции :T\^{j\4Tci) определяются задачей о движе- нии пары взаимодействующих частиц 1 и^. Подставив теперь A7.10) в A6.7) и перейдя везде от функций к функциям / = Л/"/' ? найдем кинетическое уравнение в ^ = St^2) / + StC) /, A7.12) виде1) ) Путь для вывода поправочных членов к уравнению Больцмана был намечен уже Н.Н. Боголюбовым A946). Приведение этих членов к оконча- тельному виду осуществлено впервые Грином (M.S. Green, 1956). § 17 УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 99 где / °?Et,r2)}dr2, A7.13) = 77 /?^^-№2з/(*,Г1)/(*,г2)/(*,гз)}йг2йгз. A7.14) Л/ у #n dpi Первый из этих интегралов есть интеграл двойных, а второй — тройных столкновений. Рассмотрим их структуру детальнее. В обоих интегралах в подынтегральных выражениях фигу- рируют функции /, взятые в различных точках пространства. В интеграле двойных столкновений эффект этой «нелокальности» надо выделить в виде поправки к обычному (больцмановскому) интегралу. Для этого разложим в нем медленно меняющиеся (на расстояниях ~ d) функции / по степеням разности г 2 — Г]_. Поскольку эти функции стоят в подынтегральном выраже- нии под знаком оператора Si2, рассмотрим сначала величины SuTi и *§12Г2, в которые этот оператор преобразует перемен- ные ri и Г2. Центр инерции двух частиц (ri + Г2)/2 движется (в задаче двух тел) равномерно; поэтому оператор Su эту сумму не меняет. С учетом этого обстоятельства пишем - п). п + р + Разложив теперь функции Snf(t, ГЬ Pi) = /(*, Si2f(t, Г2, р2) = /(*, ^12Г2, Р20) по Г2 — ri с точностью до членов первого порядка, получим StB) / = St?2) / + StJ2) /, A7.15) где t, гь pi) = / ??lJL{f(t, n, piO)/(t, r2, P2o)} rfr2, / ari api A7.16) 100 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I [r\ r\ -I /(?, ri, Pio) — /(*, ri, P20) - /(*, ri, P2o)t— /(*, ri, рю) A7.17) (дифференцирования по ri производятся при постоянном рю ИЛИ р2о). Интеграл A7.16) совпадает с A6.12) 1)] в § 16 было показано, каким образом (путем выполнения одного из трех интегрирова- ний по пространственным координатам) этот интеграл приводит- ся к обычному больцмановскому виду. Обратимся к интегралу тройных столкновений A7.14). Учет «нелокальности» в этом интеграле был бы превышением над принятой здесь точностью, так как сам этот интеграл уже яв- ляется малой поправкой. Поэтому в аргументах трех функций / в нем надо положить все радиус-векторы ri, Г2, гз одинаковыми (совпадающими с ri) и, сверх того, считать, что оператор на эти переменные вообще не действует2): StC>/(i,n,pi) = A7.18) Рассмотрим несколько более детально структуру оператора i?i23 с целью уяснения характера процессов столкновений, учитывае- мых интегралом A7.18). Прежде всего, оператор Яиз (как и оператор G123 A7.4)) обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не вза- имодействует с остальными. В число процессов, для которых Ri23 Ф 0, входят, однако, не только тройные (в буквальном смыс- ле этого слова) столкновения, но и совокупности нескольких двойных. г) Выражение A7.16) отличается от A6.12) заменой to на t в аргументах функций /. После такой замены, однако, правое равенство A6.13) все равно имеет место, поскольку зависимости от п, гг, pi, P2 входят только через Рю, Р20, являющиеся интегралами движения. 2) Подчеркнем, во избежание недоразумений, что эти упрощения от- нюдь не означают, что подынтегральное выражение вообще перестает за- висеть от гг, гз; зависимость от этих переменных остается через по- средство ^-операторов, которые превращают импульсы ра в функции Ро(г1,Г2,Гз,Р1,Р2,Рз). §17 УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 101 В истинных тройных столкновениях три частицы одновре- менно вступают в «сферу взаимодействия», как это схематиче- ски изображено на рис. 5 а. Но оператор i?i23 отличен от нуля также и для таких процессов «тройных взаимодействий», кото- рые сводятся к трем последовательным двойным столкновениям, причем одна из пар частиц сталкивается между собой дважды; пример такого процесса схематически изображен на рис. 5 б (для этого процесса S\% = 1, так что оператор i?i23 сводится к ?123 ~~ — S12S23) 1). Более того, оператором R\2s учитываются также и случаи, когда одно (или более) из трех столкновений является «воображаемым», т. е. возникающим, лишь если не учитывать влияния на траекторию частиц какого-либо из реальных столк- новений. Пример такого процесса изображен на рис. 5 в: столк- новение 1-3 имело бы место лишь в отсутствие искажения тра- ектории частицы 3 ее столкновением с частицей 2 ; (для этого процесса Sus = ?12?23, но Si3 "Ф 1? так что Rus сводится к —Sи Sis + ?12 )• 2 з Рис. 5 Подобно тому, как преобразовывался в § 16 интеграл Stg , может быть выполнено одно из шести интегрирований по коор- динатам в интеграле тройных столкновений; при этом потенциал взаимодействия Ui2 в явном виде исчезает из формул3). !) В то же время оператор R123 (в противоположность оператору 6123!) обращается в нуль для последовательности всего двух столкновений. Так, для процесса, составленного из столкновений 2-3 и 1-2, было бы S123 = = 5i2$23, Si3 = 1, так что R123 = 0. 2) Напомним, что по смыслу действия ^-операторов надо следить за тра- екториями частиц по направлению назад во времени! 3) Проведение этого преобразования — см. Green M.S. — Phys. Rev. 1964.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
/ °?Et,r2)}dr2, A7.13) 