Перейдем к подробному изучению ударных волн . Мы ви- дели, что в этих разрывах тангенциальная компонента скорости газа непрерывна. Можно поэтому выбрать систему координат, в которой рассматриваемый элемент поверхности разрыва покоит- ся, а тангенциальная компонента скорости газа по обе стороны ) Сделаем одно терминологическое замечание. Под ударной волной мы по- нимаем самую поверхность разрыва. В литературе, однако, можно встретить и другую терминологию, в которой поверхность разрыва называют фронтом ударной волны, а под ударной волной понимают поверхность разрыва вместе со следующим за ним течением газа. § 85 УДАРНАЯ АДИАБАТА 455 поверхности равна нулю . Тогда можно писать вместо нормаль- ной компоненты vx величину v и условия (84.7) напишутся в виде Pivi = P2V2 = j, (85.1) Pi + Pivi =P2 + P2V%, (85.2) w1 + ? = w2 + ?, (85.3) где j обозначает плотность потока газа через поверхность разры- ва. Мы условимся в дальнейшем всегда считать j положитель- ным, причем газ переходит со стороны 1 на сторону 2. Другими словами, мы будем называть газом 1 тот, в сторону которого движется ударная волна, а газом 2 — газ, остающийся за ней. Сторону ударной волны, обращенную к газу i, будем называть передней, а обращенную к газу 2 —задней. Выведем ряд соотношений, являющихся следствием написан- ных условий. Введем удельные объемы V\ = 1/pi, V2 — 1/'Р2 газа. Из (85.1) имеем vi=jVu v2=jV2 (85.4) и, подставляя в (85.2): Pi+j2V1=p2+j2V2, (85.5) или f = ^- (85.6) V V Эта формула (вместе с (85.4)) связывает скорость распростране- ния ударной волны с давлениями и плотностями газа по обеим сторонам поверхности. Поскольку j2 — величина положительная, то должно быть од- новременно Р2 > Pi, Vi > V2 или р2 < pi, Vi < V2; мы увидим в дальнейшем, что в действительности возможен лишь первый случай. Отметим еще следующую полезную формулу для разности скоростей vi — V2- Подставляя (85.6) в vi — v2 = j(Vi — V2), по- лучаем 2) vi - v2 = V(P2-Pi)(Vi-V2). (85.7) 1) Такой выбор системы координат будет подразумеваться везде в этой главе, за исключением § 92. Неподвижную ударную волну часто называют скачком уплотнения. Если неподвижная ударная волна перпендикулярна к направлению потока, то говорят о прямом скачке уплотнения; если же она наклонна к направлению движения, то говорят о косом скачке уплотнения. ) Мы пишем здесь квадратный корень с положительным знаком, заранее имея в виду, что должно быть v\ — V2 > 0, как это будет выяснено ниже (§ 87). 456 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Далее, пишем (85.3) в виде ил + J-^- = w2 ¦ 2 и, подставляя j2 из (85.6), получаем fvi - V2)(p2 ~Pi) = 0. (85i (85.9) Если ввести вместо тепловой функции внутреннюю энергию е согласно е = w—pV, то полученное соотношение можно написать в виде ?2 + - - V2){Pl + р2) = 0. (85.10) Эти соотношения определяют связь между термодинамическими величинами по обе стороны поверхности разрыва. При заданных pi, V\ уравнение (85.9) или (85.10) определяет зависимость между р2 и V2. Об этой зависимости говорят как об ударной адиабате или адиабате Гюгонио (W.J. Rankine, 1870; Н. Hugoniot, 1885). Графически она изображается (рис. 53) в V Рис. 53 Рис. 54 плоскости pV кривой, проходящей через заданную точку pi, Vi, отвечающую состоянию газа 1 перед ударной волной; эту точку ударной адиабаты мы будем называть ее начальной точкой. От- метим, что ударная адиабата не может пересечь вертикальной прямой V = V\ нигде, кроме только начальной точки. Действи- тельно, наличие такого пересечения означало бы, что одному и тому же объему соответствуют два различных давления, удовле- творяющих уравнению (85.10). Между тем, при V\ = V2 имеем из (85.10) также и е\ = е2, а при одинаковых объемах и энерги- ях давления тоже должны быть одинаковыми. Таким образом, прямая V = V\ делит ударную адиабату на две части, из кото- рых каждая находится целиком по одну сторону от этой прямой. По аналогичной причине ударная адиабата пересекает только в одной точке (pi, Vi) также и горизонтальную прямую р = р\. Пусть ао! (рис. 54) есть ударная адиабата, проведенная че- рез точку pij V\ в качестве начальной. Выберем на ней какую- нибудь точку p2i V2 и проведем через нее другую адиабату (W/) § 85 УДАРНАЯ АДИАБАТА 457 для которой бы эта точка была начальной. Очевидно, что пара значений р\, V\ будет удовлетворять также и уравнению этой вто- рой адиабаты. Таким образом, адиабаты аа' и ЪЪ' пересекутся в обеих точках pi, V\ и ^2, Т^. Подчеркнем, что обе эти адиабаты отнюдь не совпадают полностью друг с другом, как это имело бы место для адиабат Пуассона, проведенных через заданную точку. Это обстоятельство является одним из следствий того фак- та, что уравнение ударной адиабаты не может быть написано в виде /(р, V) = const, где / есть некоторая функция своих ар- гументов, как это, например, имеет место для адиабаты Пуас- сона (уравнение которой есть s(p, V) = const). В то время как адиабаты Пуассона (для заданного газа) составляют однопара- метрическое семейство кривых, ударная адиабата определяется заданием двух параметров: начальных значений pi, V\. С этим же связано и следующее важное обстоятельство: если две (или более) последовательные ударные волны переводят газ соответ- ственно из состояния 1 в состояние 2 и из 2 в 5, то переход из состояния 1 в 3 путем прохождения какой-либо одной ударной волны, вообще говоря, невозможен. При заданном начальном термодинамическом состоянии газа (т. е. заданных pi, Vi) ударная волна определяется всего одним каким-либо параметром: если, например, задать давление р2 за волной, то по адиабате Гюгонио определится V^ а затем по фор- мулам (85.4) и (85.6)—плотность потока j и скорости v\ и V2- Напомним, однако, что мы рассматриваем здесь ударную волну в системе координат, в которой газ движется нормально к ее по- верхности. Если же учесть возможность расположения ударной волны под косым углом к направлению потока, то понадобится еще один параметр, например, значение касательной к ее поверх- ности составляющей скорости. Укажем здесь на следующее удобное графическое истолко- вание формулы (85.6). Если соединить хордой точку pi, V\ на ударной адиабате (рис. 53) с некоторой произвольной точкой Р2-) V2 на ней, то (р2 — Pi)/{V2 — V\) = —j есть не что иное, как тангенс угла наклона этой хорды к оси абсцисс (к ее поло- жительному направлению). Таким образом, значение j, ас ним и скорости ударной волны, определяется в каждой точке удар- ной адиабаты углом наклона хорды, проведенной в эту точку из начальной точки. Наряду с другими термодинамическими величинами в удар- ной волне испытывает разрыв также и энтропия. В силу закона возрастания энтропии последняя для газа может лишь возра- стать при его движении. Поэтому энтропия 52 газа, прошедшего через ударную волну, должна быть больше его начальной энтро- пии S\\ s2>si. (85.11) 458 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Мы увидим ниже, что это условие налагает существенные огра- ничения на характер изменения всех величин в ударной волне. Подчеркнем здесь следующее обстоятельство. Наличие удар- ных волн приводит к возрастанию энтропии при таких движе- ниях, которые можно рассматривать во всем пространстве как движение идеальной жидкости, не обладающей вязкостью и теп- лопроводностью. Возрастание энтропии означает необратимость движения, т. е. наличие диссипации энергии. Таким образом, раз- рывы представляют собой механизм, который приводит к дисси- пации энергии при движении идеальной жидкости. В связи с этим для движения тел в идеальной жидкости, сопровождаю- щегося возникновением ударных волн, не имеет места парадокс Даламбера (§ 11)—при таком движении тело испытывает силу сопротивления. Разумеется, истинный механизм возрастания энтропии в ударных волнах заключен в диссипативных процессах, проис- ходящих в тех весьма тонких слоях вещества, которые в дей- ствительности представляют собой физические ударные волны (см. § 93). Замечательно, однако, что величина этой диссипации целиком определяется одними лишь законами сохранения массы, энергии и импульса, примененными к обеим сторонам этих слоев: их ширина устанавливается как раз такой, чтобы дать требуемое этими законами сохранения увеличение энтропии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ударная адиабата» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Мы ви- 